¿Cuándo puede un politopo en $\mathbb{R}^4$ representarse como un poliedro en $\mathbb{R}^3$ (si alguna vez)?

Question

¿Puede el casco convexo de un conjunto de vectores $x_1,x_2,...,x_n$ tal que $x_i\in\mathbb{R}^4$ para cada $i\in N$ sea un poliedro en $\mathbb{R}^3$ ? Creo que la respuesta es afirmativa, pero no estoy seguro. Aparte de eso, permítanme dar un ejemplo particular. Considere el casco convexo dado por los siguientes vectores: \begin{equation} Co(X)=Co\{(1,0,1,1),(0,0,2,1),(0,0,1,2),(0,1,1,1),(1,1,1,0),(1,1,0,1),(1,2,0,0)\} \end{equation}

Entonces, mis preguntas específicas son:

1. ¿Puede el casco convexo $Co(X)$ representarse como un poliedro en $\mathbb{R}^3$ ?
2. Si la respuesta a la pregunta anterior es afirmativa, ¿cómo lo hacemos? En otras palabras, ¿cómo encontramos vértices equivalentes en $\mathbb{R}^3$ que nos permiten representar gráficamente $Co(X)$ ?

Muchas gracias a todos por adelantado por su tiempo.

PD: Si es posible, proporcione algunos cálculos sobre los pasos necesarios o intente proporcionar algunos recursos útiles.

Answer 1

Si lo que preguntas es si ese casco convexo es tridimensional (vive en un subconjunto afín tridimensional del espacio de cuatro) entonces la forma de averiguarlo es restar un punto de todos los demás y determinar si el conjunto resultante de $n-1$ puntos es independiente. Si lo es, el politopo original es de cuatro dimensiones. Si no, su dimensión es menor: la dimensión de ese tramo.

No he resuelto tu ejemplo en particular.