$1/a_n \to 0$ y $b_n \to b>0$ implica que $(a_nb_n)$ diverge.

Question

Dejemos que $(a_n), (b_n)\subset \mathbb{R}$ . Mostrar:

$1/a_n \to 0$ y $b_n \to b>0$ implica que $(a_nb_n)$ diverge.

Aquí está mi progreso (ignora las dos primeras líneas, repiten la tarea).

¿Cómo proceder? ¿Cómo puedo deshacerme de $|b_n|$ ?

Answer 1

Desde $\lim_{n\to\infty}\frac1{a_n}=0$ , usted tiene $\lim_{n\to\infty}\frac1{\lvert a_n\rvert}=0$ y por lo tanto $\lim_{n\to\infty}\lvert a_n\rvert=\infty$ . Y, como $\lim_{n\to\infty}b_n=b>0$ Hay un $N\in\mathbb N$ tal que $n\geqslant N\implies b_n>\frac b2$ . Pero entonces $$\lim_{n\to\infty}\lvert a_nb_n\rvert\geqslant\lim_{n\to\infty}\frac{\lvert a_n\rvert b}2=\infty,$$ y así $(a_nb_n)_{n\in\mathbb N}$ diverge.

Answer 2

• Desde $\frac{1}{a_n}\to 0$ para todos $n$ , hay $N_n\geq n$ s.t. $|a_{N_n}|\geq n.$

• Desde $b_n\to b>0$ , hay $M\in\mathbb N$ s.t. $b_n>\frac{b}{2}>0$ para todos $n\geq M$ .

Por lo tanto, si $n\geq M$ , $$|a_{N_n}b_{N_n}|\geq \frac{b}{2}n\to \infty .$$

Answer 3

Para cualquier $\epsilon: 0 < \epsilon < b$ usted tiene un $N_1$ donde $n > N_1$ implica $|\frac 1{a_n}| < \epsilon$ y $|a_n| > \frac 1{\epsilon}$ y un $N_2$ donde $n > N_1$ significa $|b-b_n| < \epsilon$ así que $0 < b-\epsilon < b_n < b+\epsilon$ .

Así que si $n > \max (N_1, N_2)$ entonces $|a_n*b_n| =|a_n|*|b_n| > \frac 1{\epsilon}(b-\epsilon)= \frac b{\epsilon} - 1$ .

Así que se trata de asegurarse de que $\epsilon < b$ y $\epsilon <\frac b{\epsilon} -1$ . (es decir $ \epsilon^2 +\epsilon < b$ ) que podemos asegurar si $\epsilon < \min(\frac b2, 1)$ .

Rehazlo correctamente:

Para cualquier $\epsilon' > 0$ dejar $\epsilon: 0 < \epsilon < \min(\epsilon', \frac b2, 1)$ .

El $\epsilon^2 + \epsilon < 2\epsilon < b$ y $0< \epsilon < \frac b\epsilon -1$

Dejemos que $N =\max(N_1,N_2)$ para que $n > N_1 \implies |a_n| > \frac 1\epsilon$ y $n > N_2 \implies b_n > b-\epsilon > 0$ y así $n>N\implies |a_n*b_n| >\frac 1{\epsilon}(b-\epsilon)=\frac b{\epsilon} -1 > \epsilon >\epsilon'$ y por lo tanto $a_n*b_n$ no converge.

Answer 4

La condición de que $b>0$ se utiliza mucho en la siguiente prueba.

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Como $\frac{1}{a_n}\rightarrow 0$ , dado $\epsilon>0$ existe $N_1\in \mathbb{N}$ tal que $\frac{1}{|a_n|}<\epsilon$ En otras palabras, $|a_n|>\frac{1}{\epsilon}$ para todos $n\geq N_1$ .

Dejemos que $M>0$ . Establecer $\epsilon=\frac{1}{M}$ . Entonces, existe $N_1\in \mathbb{N}$ tal que $|a_n|>M$ para todos $n\geq N_1$ .

Como $(b_n)\rightarrow b$ , dado $\epsilon'>0$ existe $N'\in \mathbb{N}$ tal que $|b_n-b|<\epsilon'$ . Este $\epsilon'$ puede ser cualquier número real positivo . Como $b$ es positivo podemos tomar $\epsilon'=\frac{b}{2}$ y ver que $$|b_n-b|<\frac{b}{2}\Rightarrow -\frac{b}{2}<b_n-b\Rightarrow \frac{b}{2}<b_n$$

Elija $N=\max{N_1,N_2}$ . Para $n\geq N$ tenemos $|a_n|>M$ y $b_n>\frac{b}{2}$ . Como $b_n>0$ multiplicando ambos lados de la igualdad $|a_n|>M$ con $b_n$ mantiene la desigualdad sin cambios; es decir $|a_n|b_n>Mb_n$ para cada $n\geq N$ . Como $b_n>\frac{b}{2}$ para cada $n\geq N$ vemos que $|a_nb_n| >Mb_n>\frac{Mb}{2}$ para cada $n\geq N$ . Mira eso, como $b_n>0$ Puedo llevarlo dentro del módulo.

Por lo tanto, teniendo en cuenta $M>0$ hemos encontrado $N\in \mathbb{N}$ tal que $|a_nb_n|>\frac{Mb}{2}$ para cada $n\geq N$ . Así, $(a_nb_n)$ diverge.