¿Cómo puedo simplificar $\frac{\sqrt{1-x} + \frac{1}{\sqrt{1+x}}}{1 + \frac{1}{\sqrt{1-x}}}$ ?

Question

$$\frac{\sqrt{1-x} + \frac{1}{\sqrt{1+x}}}{1 + \frac{1}{\sqrt{1-x}}}$$

He intentado poner todo sobre un denominador común en forma de:

$$\frac{\frac{\sqrt{1-x}\sqrt{1+x}+1}{\sqrt{1+x}}}{\frac{\sqrt{1-x}+1}{\sqrt{1-x}}} = \frac{\sqrt{1-x}(\sqrt{1-x^2}+1)}{(\sqrt{1-x}+1)\sqrt{1+x}}$$

O multiplicar la fracción compleja por el conjugado de su base, pero no consigo nada.

La búsqueda exhaustiva tampoco me ha permitido conocer la respuesta, me tiene desconcertado.

Answer 1

Desde donde lo dejaste, para eliminar todos los radicales del denominador, podríamos multiplicar la parte superior e inferior por $\sqrt{1+x}(1-\sqrt{1-x})$ -- el factor anterior para eliminar el factor de $\sqrt{1+x}$ siendo este último el conjugado de $1+\sqrt{1-x}$ . Esto resultaría con

$$\begin{align*} \frac{\sqrt{1-x}(\sqrt{1-x^2}+1)\sqrt{1+x}(1-\sqrt{1-x})}{(1+x)(1-(1-x))} &= \frac{\sqrt{1-x^2}(\sqrt{1-x^2}+1)(1-\sqrt{1-x})}{x(1+x)} \\ &= \frac{(1-x^2+\sqrt{1-x^2})(1-\sqrt{1-x})}{x(1+x)} \end{align*}$$

También se podría ampliar el numerador, pero no me parece "más sencillo".

$$\begin{align*} \frac{(1-x^2+\sqrt{1-x^2})(1-\sqrt{1-x})}{x(1+x)} &= \frac{1-x^2+\sqrt{1-x^2}-\sqrt{1-x}+x^2\sqrt{1-x}-(1-x)\sqrt{1+x}}{x(1+x)} \\ &= \frac{(x^2-1)\sqrt{1-x}+(x-1)\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}\sqrt{1+x}+1-x^2}{x(1+x)} \end{align*}$$

Hay muchas formas diferentes de escribir esta expresión.