¿Puede el vértice efectivo para $\gamma\to3\pi$ ¿se deriva directamente de la anomalía?

Question

Mi pregunta es si el vértice efectivo para $\gamma\to3\pi$ puede derivarse directamente de la anomalía (dada en la primera ecuación siguiente), por analogía con la $\pi^0\to2\gamma$ vértice? Según tengo entendido, a partir de la anomalía se puede derivar la acción de Wess-Zumino-Witten (WZW), que contiene muchos más vértices distintos aparte de $\pi^0\to2\gamma$ y $\gamma\to3\pi$ . Sin embargo, la derivación es bastante tediosa y no la entiendo bien. Por otro lado, la $\pi^0\to2\gamma$ se puede deducir directamente de la anomalía, como se muestra a continuación. No veo cómo generalizar este razonamiento para incluir $\gamma\to3\pi$ vértice pero creo que esto debería ser posible. La pregunta es ¿cómo?

La amplitud para el $\pi^0\to2\gamma$ La decadencia recibe la contribución de la anomalía en la corriente quiral $$\partial_\mu J^{\mu3}_A=-\frac{e^2}{32\pi^2}\tilde{F}^{\mu\nu}F_{\mu\nu}$$ Según tengo entendido, esto se puede hacer de la siguiente manera. A partir del lagrangiano efectivo del pión $$\mathcal{L}=\frac{f_\pi^2}{4}Tr\left(\partial_\mu U \partial^\mu U^{-1}\right)+O(f_\pi^{0})$$ se encuentra que en términos de los campos de piones la corriente quiral está dada como $$J^{\mu3}_A=f_\pi\partial^\mu\pi^0+O(f_\pi^{-1})$$ Por lo tanto, combinando esto con la ecuación de la anomalía se obtiene $$\partial_\mu\partial^\mu\pi^0=\frac{e^2}{32\pi^2f_\pi}\tilde{F}^{\mu\nu}F_{\mu\nu}+O(f_\pi^{-2})$$ Esta ecuación de movimiento se desprende del término correspondiente en la lagrangiana efectiva de orden $O(f_{\pi}^{-1})$ $$\Delta \mathcal{L}=\pi^0\frac{e^2}{32\pi^2f_\pi}\tilde{F}^{\mu\nu}F_{\mu\nu}$$

Este término de acoplamiento produce efectivamente la amplitud correcta para $\pi^0\to2\gamma$ .

Alternativamente, este término podría derivarse expandiendo la acción de WZW, que abarca los efectos de la anomalía a todos los órdenes en $f_{\pi}$ . No entiendo muy bien cómo se deriva la acción WZW, y esa puede ser la fuente de mi confusión. De todos modos, la acción WZW incluye muchos más vértices, como por ejemplo $\gamma\to 3\pi$ $$\Delta\mathcal{L}\propto \epsilon^{\mu\alpha\beta\gamma}\epsilon^{abc}A_\mu \partial_\alpha\pi^a\partial_\beta\pi^b\partial_\gamma\pi^c$$

A diferencia del vértice para $\pi\to2\gamma$ este contiene un solo fotón. No me queda claro cómo se puede derivar este término de la anomalía. Sin embargo, creo que debería ser posible. ¿Lo es?

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Una pregunta al margen: $\pi^0\to2\gamma$ no es claramente invariante de isospina, ya que sólo contiene el $\pi^0$ campo. ¿Se puede pensar en la acción de WZW como la que restaura la simetría? ¿Se puede reconstruir la acción completa de WZW a partir de esta única pieza?

Editar: Me he encontrado con una confusión aquí. Como muestra la anomalía axial, la simetría de isospín se rompe por las interacciones electromagnéticas, por lo que mi sugerencia anterior no tiene sentido.

Answer 1

Motivación del término Wess-Zumino

Hay muchos términos similares con mesones que capturan la estructura quiral anómala de la QCD subyacente. ¿Cómo capturar todos ellos? La respuesta viene dada por el teorema que dice lo siguiente: en general, la anomalía no abeliana en 4 dimensiones está relacionada con el carácter de Chern-Simons en 5 dimensiones, que se llama el término de Wess-Zumino. Este teorema también es una forma elegante de derivar el término de Wess-Zumino.

Así que en lugar de buscar todos los términos como $\pi^{0}F_{EM}\tilde{F}_{EM}$ Mediante la aplicación directa de las ecuaciones de anomalía es preferible calibrar el término de Wess-Zumino, ya que es sencillo. Muchos términos anómalos no surgen del diagrama triangular, sino, por ejemplo, del diagrama pentagonal anómalo, lo que lleva a una gran complicación de los cálculos basados en la modificación de las identidades ingenuas de Ward para una clase dada de diagramas.

¿Cómo calibrar el término Wess-Zumino? Hay una forma antigua y sencilla que se llama método de ensayo y error. A saber, empecemos por el término libre de Wess-Zumino: $$N_{c}\Gamma_{WZ} = i\frac{N_{c}}{240 \pi^{2}}\int d^{5}x\epsilon^{ijklm}\text{Tr}\left[L_{i}L_{j}L_{k}L_{l}L_{m}\right],$$ donde $L_{i} \equiv U\partial_{i}U^{-1}$ y $U$ es la matriz de los bosones de piedra dorada.

Desde $U$ aquí actúa en una variedad de 5 dimensiones, no hay forma directa de calibrar el término de Wess-Zumino por simple elongación de la derivada. Sin embargo, conocemos la forma explícita de $U_{EM}(1)$ variación del calibre de $U$ campo, a saber $$U(x) \to e^{iQ\epsilon(x)}Ue^{-iQ\epsilon (x)} \Rightarrow \delta U = i\epsilon (x)[Q, U]$$ Entonces $$\delta L_{i} = i\epsilon (x)[Q, L_{i}] + i(\partial_{i}\epsilon (x))UQU^{-1} - i\partial_{i}\epsilon (x)Q,$$ y $$N_{c}\Delta \Gamma_{WZ} = -\frac{iN_{c}}{48 \pi^{2}}\int d^{5}x\partial_{i}\left[ \partial_{i}\epsilon(x)\epsilon^{ijklm}\text{Tr}\left[ Q(T_{k}T_{l}T_{m} + L_{k}L_{l}L_{m})\right]\right] =$$ $$=-\frac{i}{48 \pi^2}\int d^{4}x\epsilon^{\mu \nu \alpha \beta}\partial_{\mu}\epsilon (x) \text{Tr}\left[ QT_{\nu}T_{\alpha}T_{\beta} + L_{\nu}L_{\alpha}L_{\beta}\right] \equiv -\int d^{4}x\partial_{\mu}\epsilon(x)J^{\mu},$$ donde $T_{i} \equiv (\partial_{i}U^{-1})U$ y $$J^{\mu} \equiv \frac{iN_{c}}{48 \pi^{2}}\epsilon^{\mu \nu \alpha \beta}\text{Tr}\left[ Q(T_{\nu}T_{\alpha}T_{\beta} + L_{\nu}L_{\alpha}L_{\beta})\right]$$ Para el primer paso, podemos modificar el término de Wess-Zumino añadiendo $$-\int d^{4}xA_{\mu}J^{\mu},$$ donde $A_{\mu}$ es EM 4-potencial.

Desde $\delta J_{\mu}$ no es cero, tenemos que añadir también la parte cuya variación coincide con el término $\delta J_{\mu}$ . Así obtenemos que el término Wess-Zumino calibrado es $$\tag 1 \tilde{\Gamma}_{WZ} = N_{c}\Gamma_{WZ} - \int d^{4}xA_{\mu}J^{\mu} +$$ $$+\frac{iN_{c}}{24 \pi^{2}}\int d^{4}x\epsilon^{\mu \nu \alpha \beta}(\partial_{\mu}A_{\nu})A_{\alpha}\text{Tr}\left[ Q^{2}(\partial_{\beta}U)U^{-1} + Q^2Q^{-1}\partial_{\beta}U + QUQU^{-1}(\partial_{\beta}U)U^{-1}\right]$$

Para la QCD con $u, d$ quarks, $Q = \text{diag}\left(\frac{2}{3}, -\frac{1}{3}, \right)$ . Al utilizar $$U = e^{i\frac{\sqrt{2}\pi_{a}t_{a}}{f_{\pi}}}, \quad \pi_{a}t_{a} = \begin{pmatrix} \frac{\pi^{0}}{\sqrt{2}} & \pi^{-} \\ \pi^{+} & \frac{\pi^{0}}{\sqrt{2}}\end{pmatrix},$$ podemos conseguir $\pi^{0} \to 2\gamma$ vértice del último sumando de $(1)$ y $\gamma \to 3 \pi$ vértice del segundo. Por supuesto, al ampliar el número de quarks a 3, obtenemos más términos anómalos.