$(a+b)^n < 2^n(a^n + b^n)$ cuando $ a,b>0$ será posible que n

Question

$(a+b)^n < 2^n(a^n + b^n)$ cuando $ a,b>0$ será posible para todos los números naturales .

¿Cómo proceder mediante la Inducción Matemática? ¿Alguien puede ayudarme?

Answer 1

Sin pérdida de generalidad, supongamos $a \geq b$ .

Entonces, observando que $a, b > 0$ tenemos lo siguiente para $n > 0$ :

$$(a+b)^n \leq (a+a)^n = (2a)^n = 2^n \cdot a^n < 2^n \cdot a^n + 2^n \cdot b^n = 2^n (a^n + b^n)$$

como se desee.

Answer 2

Es cierto para $n=1$ : $$(a+b)<2(a+b)$$ Suponiendo que sea cierto para $n=k$ demostraremos que es cierto para $n=k+1$ : $$(a+b)^{k+1}=(a+b)^k(a+b)<2^k(a^k+b^k)(a+b)=2^k(a^{k+1}+b^{k+1})+2^k(a^kb+ab^k)<2^{k+1}(a^{k+1}+b^{k+1}),$$ porque debido a la reordenación: $$a^kb+ab^k<a^{k+1}+b^{k+1}.$$