Cálculo del conjugado hermitiano de un operador sobre una función

Question

El operador $\hat D$ se define por $(\hat D f)(x) = \sqrt 2 f(2x)$ . Demostrar que $\hat D$ es una transformación lineal, calcula su conjugado hermitiano y demuestra que es unitario. Determine todas las funciones propias de $\hat D$ .

No se dice en el problema dado explícitamente, pero asumo que opera en dimensiones infinitas, ya que este es en realidad un problema de un curso de mecánica cuántica.

Sé qué condiciones deben cumplirse para una transformación lineal: $$(\hat D(f + g))(x) = (\hat D f)(x) + (\hat D g)(x)$$ $$\hat D(cf)(x) = c(\hat D f)(x)$$ pero no estoy seguro de cómo demostrar que es cierto para todas las funciones. Y luego estoy totalmente perdido en el cálculo del conjugado hermitiano, ya que sólo he hecho que con las matrices, no un operador en una función. Cualquier ayuda que me apunte en la dirección correcta sería apreciada.

Answer 1

Suponemos que el operador lineal $\hat{D}$ se define en el espacio de Hilbert $H = \mathcal{L}^2(\mathbb{R})$ equipado con el producto interno habitual $(f,g)=\int_{\mathbb{R}} f(x)g(x) \, \textrm{d}x$ ya que no se especifica.

La linealidad se desprende de la definición. En efecto, para $f, g \in H$ , $\alpha, \beta \in \mathbb{C}$ ,

$$(\hat{D}(\alpha f + \beta g))(x) = \sqrt{2}(\alpha f + \beta g)(2x) = \sqrt{2} \alpha f(2x) + \sqrt{2} \beta g(2x) = \alpha (\hat{D}f)(x) + \beta (\hat{D}g)(x)$$

Definir $\hat{D}^{*}: H \rightarrow H$ por $(\hat{D}^{*}g)(x) = \frac{1}{\sqrt{2}}g(\frac{1}{2}x)$ . Entonces para $f,g \in H$ tenemos

$$ (\hat{D}f, g) = \int_{\mathbb{R}} \sqrt{2}f(2x)g(x) \, \textrm{d}x $$ $$ (f, \hat{D}^{*}g) = \int_{\mathbb{R}} f(x)\frac{1}{\sqrt{2}}g(\frac{1}{2}x) \, \textrm{d}x $$

Dejar $y = \frac{1}{2}x$ en la segunda fórmula, tenemos

$$ (f, \hat{D}^{*}g) = \int_{\mathbb{R}} f(2y) \sqrt{2} g(y) \, \textrm{d}y = (\hat{D}f, g) $$

Por lo tanto, $\hat{D}^{*}$ es el conjugado hermitiano de $\hat{D}$ .

Ahora es fácil comprobar que el operador es unitario.

$$(\hat{D}^{*}\hat{D}f)(x) = \frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{D}f)(\frac{1}{2}x) = \frac{1}{\sqrt{2}} \times \sqrt{2} f(2 \times \frac{1}{2}x) = f(x)$$

Por lo tanto, $\hat{D}^{*}\hat{D} = I$ . El otro lado $\hat{D}\hat{D}^{*} = I$ es simétrica.