Existencia de gráficos orientados en la definición de la integral de una forma diferencial

Question

Estoy leyendo el libro de Lee Introducción a los colectores suaves Y su definición de la integral de una forma diferencial me resulta un poco difícil de entender.

Supongamos que $M$ es un liso orientado $n$ -con o sin límite, y $\omega$ es un soporte compacto $n$ -formar en $M$ . Sea $\{U_i\}$ sea una cubierta abierta finita de $\mathsf{supp}\omega$ por dominios de gráficos lisos orientados positiva o negativamente, y que $\{\psi_i\}$ sea una partición suave subordinada de la unidad. Definir la integral de $\omega$ en $M$ para ser $$\int_M \omega=\sum_i\int_M \psi_i \omega.\tag{16.2}$$

No sé exactamente qué garantiza la existencia de $\{U_i\}$ . Más concretamente, no he encontrado ninguna proposición en los apartados anteriores que me asegure un atlas suave $\{(U_\alpha,\varphi_\alpha)\}$ consistente en gráficos orientados positivamente o negativamente. Si tal atlas existiera, emplearía la compacidad de $\mathsf{supp}\omega$ para extraer una subcubierta finita de la cubierta abierta $\{U_\alpha\}$ . Esta subcubierta puede servir entonces como $\{U_i\}$ .

¿Alguien tiene una idea? Gracias.

Answer 1

Una forma de ver que esto es cierto es observando que en una variedad orientada $(M,\mu)$ Cada gráfico con dominio conectado tiene una orientación positiva o negativa. Para ver esto, observe que en cualquier gráfico $\varphi:U\to\mathbb{R}^n$ tenemos $\mu|_{U}=fdx^1\wedge\cdots\wedge dx^n$ , donde $f:U\to\mathbb{R}$ es continua y no evanescente.

A partir de ahí se puede construir tal cobertura explícitamente (por ejemplo, a partir de bolas de coordenadas), o notar que dada cualquier cobertura por cartas de coordenadas, podemos subdividir las cartas desconectadas en sus componentes conectadas y obtener una cobertura por cartas de coordenadas conectadas.

Answer 2

Echa un vistazo a la propuesta 15.6 en ISM:

Proposición 15.6 (La orientación determinada por un atlas de coordenadas). Dejemos que $M$ sea una variedad suave de dimensión positiva con o sin límite. Dado cualquier atlas liso consistentemente orientado para $M$ ; hay una orientación única para $M$ con la propiedad de que cada gráfico en el atlas dado está orientado positivamente. Por el contrario, si $M$ es orientado y $\partial M=\varnothing$ o $\dim M >1$ entonces el colección de todos los gráficos lisos orientados es un atlas orientado consistentemente atlas para $M$ .

Answer 3

La existencia de un atlas suave formado por gráficos cuyos cambios de coordenadas están orientados positivamente (resp. negativamente) es equivalente a $M$ siendo orientable, que es una hipótesis que sí tenemos en la definición que citas. Dado que tal atlas existe (de nuevo, porque estamos suponiendo $M$ está orientado), podemos proceder como dices y utilizar la compacidad de $\operatorname{supp}(\omega)$ para extraer la subcubierta finita deseada.