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¿Por qué la elección de elementos en clases de equivalencia no es una elección?

Esta es la respuesta de Asaf desde este enlace: ¿Cómo sabemos que un $ \aleph_1 $ ¿existe en absoluto?

No entiendo esta frase que es;

De cada clase de equivalencia se elige el representante que es un ordinal (lo que no requiere ninguna forma de elección, ya que las clases de equivalencia se pueden describir sin el axioma de elección, además de ser un ordinal). El conjunto de representantes es un conjunto de ordinales, tomamos su unión.

Esto es lo que creo que significa. Por favor, dime que estoy siguiendo este argumento correctamente.

Dejemos que $X$ sea la clase de todas las ordenaciones de pozos de $\omega$

Dejemos que $[G]$ ={ $F \in X$ | $F$ es isomorfo con $G$ para cada $G\in X$ .

A continuación, "elegimos" a los representantes de cada $[G]$ y tomar un sindicato.

Veo que esto es definitivamente una elección ya que puede haber infinitas [G]. ¿Por qué no es una elección?

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DanV Puntos 281

Existe un teorema que afirma que todo conjunto bien ordenado es isomorfo a un único ordinal.

Como la relación de equivalencia es la de isomorfismo de orden, todos los elementos de una clase de isomorfismo dada son isomorfos a un ordinal único. De este modo, hemos eliminado la necesidad de elegir, ya que sólo hay una elección posible.

El punto completo de la frase era que los enunciados que dicen que dos conjuntos ordenados son isomorfos, y que un determinado conjunto es un ordinal no requieren el axioma de elección. Por lo tanto, tiene sentido hacer estas construcciones en ZF.

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Francis Adams Puntos 1349

Dado que su elección proviene de la colección de ordinales, puede especificar que desea el menos tal ordinal que satisface la condición. Este ordinal existe y es único, por lo que no hay que elegir. (Por supuesto, como dice la respuesta de Asaf, resulta que sólo hay un ordinal que satisface la propiedad, pero también se puede hacer esta selección sin conocer ese hecho)

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