¿Diferencia de coeficientes binomiales?

Question

Digamos que tengo una suma de coeficientes binomiales que tiene el siguiente aspecto:

$12\choose5$ + $11\choose5$ + $10\choose5$ + $9\choose5$ + $8\choose5$

¿Cómo puedo reescribir esta ecuación para que sea una diferencia de coeficientes binomiales pero que siga obteniendo la misma respuesta que la ecuación anterior?

Answer 1

Una pista:

Demostrar con la fórmula de Pascal y la inducción que para todo $n\ge k$ , $$\binom kk+\binom{k+1}k+\dots+\binom nk=\binom{n+1}{k+1}.$$

Answer 2

El hermoso diagrama del palo de hockey en esta página da una pista importante.

Si sigue atascado con la conexión a su suma, pregunte cómo tendría que ampliar su suma $\binom{12}{5}+\binom{11}{5}+\binom{10}5+\binom95+\binom85$ para utilizar el resultado de la página enlazada, y qué partes de esa suma extendida faltan en su suma.