Dado un conjunto $G$ ¿cómo demostramos que es una base de Gröbner de un ideal $I$ ?

Question

Estoy usando la anotación sage por lo que puede ser un poco desordenado.

Me han dado un conjunto $G$ y quiero demostrar que es una base de Gröbner del ideal $I= \langle y_1+y_2x_1+y_3x_1^2 , y_1+y_2x_2+y_3x_2^2,y_1+y_2x_3+y_3x_3^2 \rangle$ .

El conjunto $G= \{ y_1+ y_2x_3 + y_3x_3^2 , y_2x_3 - y_2x_1 + y_3x_3^2 - y_3x_1^2 , y_2x_3 - y_2x_2 + y_3x_3^2 - y_3x_2^2 , y_3x_1^2x_2 - y_3x_1^2x_3 - y_3x_1x_2^2 + y_3x_1x_3^2 + y_3x_2^2x_3 - y_3x_2x_3^2 \}$

El ordenamiento lexicográfico utilizado es: $y_1 > y_2 > y_3 > x_1 > x_2 > x_3$ .

Mi progreso ha sido de la siguiente manera :

1. He demostrado que cada uno de los polinomios del ideal $I$ están presentes en $G$ (utilizando la división larga multivariante).

2. He demostrado que $S(g_i,g_j)$ da un resto $0$ cuando lo divido por los polinomios en $G$ .

Sin embargo, un amigo me sugirió que demostrara que los polinomios en $G$ están presentes en los polinomios de $I$ (para demostrar que el ideal generado por $G$ es igual a $I$ ). Intenté hacerlo, pero obtuve el polinomio en $G$ como el resto cada vez que intentaba dividir por los polinomios en $I$ ¿Es este paso una necesidad? Si es así, ¿en qué me estoy equivocando?

Answer 1

Para mostrar $G$ es una base de Groebner de $I$ efectivamente hay que demostrar que $G$ es un conjunto generador de $I$ y que $S(g_i,g_j) \xrightarrow{G} 0$ para todos $i<j$ (criterio de Buchberger).

Por lo general, $G$ se crea utilizando un algoritmo como el de Buchberger, que comienza con $G$ siendo el conjunto de generadores de $I$ y sólo añade elementos que pertenecen al mismo ideal. En este caso es obvio que $G$ es un conjunto generador de $I$ . Además, pasos como la reducción aseguran que $G$ sigue siendo un conjunto generador de $I$ .

Cuando $G$ se da de sopetón, tu amigo tiene razón en que hay que comprobar las dos inclusiones en $I = \langle G \rangle$ . Al reducir los generadores de $I$ con respecto a $G$ y encontrando el cero, se demuestra que $I \subset \langle G \rangle$ . Ahora queda por demostrar que $\langle G \rangle$ no es mayor que $I$ . Para ello puede utilizar primero la información adicional que encontró durante el paso de reducción. Si decimos $I = \langle f_1, f_2, f_3 \rangle$ y $G = \{g_1,g_2,g_3,g_4\}$ , entonces reduciendo $f_1$ con respecto a $G$ realmente se encuentra $f_1 = g_1 - g_2$ , y de forma similar $f_2 = g_1 - g_3$ , $f_3 = g_1$ . Ahora está claro, resolviendo el sistema lineal, que $g_1 = f_3, g_2 = f_3 - f_1, g_3 = f_3 - f_2$ así que $\langle g_1,g_2,g_3 \rangle \subset I$ .

Queda por demostrar $g_4 \in I$ . Para ello puedes poner $G' = \{f_1,f_2,f_3\}$ y empezar a ejecutar el algoritmo de Buchberger (calcular un polinomio S y reducirlo con respecto a $G'$ y si la reducción es distinta de cero, se añade a $G'$ y repetir con el nuevo $G'$ hasta que todos los polinomios S se reduzcan a cero). Todos los elementos encontrados de esta manera estarán en $I$ (se deduce de la definición de S-polinomio y de la reducción). Durante este proceso también se pueden reducir los elementos con respecto a $G$ para expresarlos en términos de $g_1,g_2,g_3,g_4$ . Se quiere encontrar un elemento que se exprese mediante un coeficiente invertible veces $g_4$ y posiblemente otros términos (para que la ecuación pueda ser resuelta por $g_4$ ). En su caso obtenemos $S(f_1,f_2) \xrightarrow{G'} f_4 = g_3 - g_2$ y ponemos $G' := G' \cup \{f_4\}$ entonces $S(f_1,f_3) \xrightarrow{G'} f_5 = -g_3$ y ponemos $G' := G' \cup \{f_5\}$ y finalmente podemos encontrar $S(f_4,f_5) \xrightarrow{G'} f_6 = g_4$ Así que $g_4$ pertenece a $I$ .

Nótese que al hacer esto casi hemos recalculado una base de Groebner, por lo que es bastante ineficiente. Normalmente las bases de Groebner no caen del cielo, sino que por su construcción se sabe que son un conjunto generador del ideal.

Con respecto a su intento: Reducir los elementos de $G$ con respecto a los generadores de $I$ generalmente no es muy útil, ya que los generadores de $I$ no suelen formar una base de Groebner, por lo que el resultado de la reducción no está determinado unívocamente (puede depender del orden en que se reduzca), y no se garantiza que se obtenga cero cuando la entrada pertenece a $I$ .