encontrar el rango $(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{2009})^2=4(x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+\cdots+x_{2009}x_{1})^2$

Question

Dejar $x_{i}\ge 0(i=1,2,3,\cdots,2009$ y tal $$(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{2009})^2=4(x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+\cdots+x_{2009}x_{1})=4$$ encontrar el rango $\sum_{i=1}^{2009}x^2_{i}$

Supongo que el rango es $[1.5,2]$ porque creo que cuando $x_{1}=1,x_{2}=1,x_{3}=x_{4}=\cdots=x_{2009}=0$ entonces es el máximo del valor $2$

y cuando $x_{1}=0.5,x_{2}=1,x_{3}=0.5,x_{4}=\cdots=x_{2009}=0$ es la suma mínima del valor $1.5$

Answer 1

Creo que tienes razón.

Vamos a demostrar que $$(x_1+x_2+...+x_{2009})^2\geq4(x_1x_2+x_2x_3+...+x_{2009}x_1)$$ para todos los no negativos $x_i$ .

En efecto, dejemos que $x_2=\max\limits_{i}\{x_i\}$ .

Así, $$x_2x_{2009}\geq x_1x_{2009}$$ y por AM-GM obtenemos: $$4(x_1x_2+x_2x_3+...+x_{2009}x_1)\leq4(x_1+x_3+...+x_{2009})(x_2+x_4+...+x_{2008})\leq\left(\sum\limits_{i=1}^{2009}x_i\right)^2,$$ donde la igualdad se produce para $$x_1(x_4+x_6+...+x_{2008})=0,$$ $$x_2(x_5+...+x_{2007})=0,$$ que da $$x_5=...=x_{2007}=0.$$ Ahora bien, si $x_1=0$ entonces $x_2x_3=1,$ que da $$2=\sum_{i=1}^{2009}x_i\geq x_2+x_{3}\geq2\sqrt{x_2x_{3}}=2,$$ que da $x_2=x_{3}=1$ , $x_1=x_4=...=x_{2009}=0$ y $\sum\limits_{i=1}^{2009}x_i^2=2$ .

Si $x_1>0$ obtenemos: $$x_1(x_4+...+x_{2008})=0,$$ que da $x_4=x_5=...=x_{2008}=0.$

Ahora, dejemos que $x_2=a$ , $x_1=b$ , $x_3=c$ y $x_{2009}=d$ .

Así, $$(a+b+c+d)^2=4(ab+bd+ca)=4,$$ que da $a+b+c+d=2$ y $ab+bd+ca=1.$

Así, por AM-GM $$1=ab+bd+ca=ab+bd+dc+ca-dc=(a+d)(b+c)-dc\leq$$ $$\leq\left(\frac{a+b+c+d}{2}\right)^2-dc=1-dc\leq1,$$ que da $dc=0$ y $a+d=b+c=1.$

Ahora, dejemos que $c=0$ .

Así, $b=1=a+d$ y como $a\geq b$ obtenemos $d=0$ y $\sum\limits_{i=1}^{2009}x_i^2=2$ de nuevo.

Dejemos que $d=0$ .

Id est, por C-S $$\sum_{i=1}^{2009}x_i^2=a^2+b^2+c^2=1+\frac{1}{2}(1+1)(b^2+c^2)\geq1+\frac{1}{2}(b+c)^2=1.5.$$ La igualdad se produce para $a=1$ y $b=c=\frac{1}{2},$ que dice que tenemos un valor mínimo.

También, $$\sum_{i=1}^{2009}x_i^2=a^2+b^2+c^2=1+(b+c)^2-2bc\leq1+(b+c)^2=2.$$ La igualdad se produce para $a=b=1$ y $c=0,$ que dice que tenemos un valor máximo.

Answer 2

Solución

Vamos a enunciar un lema, en el que se basa todo el asunto.

Lema

Dejemos que $n > 4$ y $x_0,x_1,\ldots,x_n,x_{n+1}$ sean reales no negativos números reales no negativos, con $x_0=x_n$ y $x_{n+1} = x_1$ . Entonces $$\left (\sum_{i=1}^n x_i \right )^2 \geq 4\sum_{i=1}^n x_{i}x_{i+1},$$ y la igualdad se mantiene si y sólo si, para cualquier $j~~ (1\leq j\leq n)$ tenemos $$x_j =\dfrac {1}{2} \sum\limits_{i=1}^n x_i = x_{j-1}+x_{j+1}$$ y el resto de las variables son iguales a $0$ .

Volvamos al presente caso. Desde $n=2009> 4$ , $\sum\limits_{i=1}^n x_i = 2$ y $\sum\limits_{i=1}^n x_{i}x_{i+1} = 1$ por lo que la igualdad se mantiene. Por lo tanto, para cualquier $j~~~(1 \leq j \leq 2009)$ tenemos $x_j=1$ , $x_{j-1}+x_{j+1}=1,$ y el resto son iguales a $0$ .

Con estas limitaciones, obtenemos $$S = \sum_{i=1}^n x_i^2 = x_j^2 + x_{j-1}^2 + x_{j+1}^2 =1 + x_{j-1}^2 + x_{j+1}^2,$$ donde $x_{j-1}, x_{j+1} \geq 0$ y $x_{j-1}+x_{j+1}= 1$ . Así, $\dfrac {1}{2} \leq x_{j-1}^2 + x_{j+1}^2 \leq 1$ Por lo tanto $$\dfrac {3}{2} \leq S \leq 2.$$