¿Hay alguna manera fácil de demostrar que esta función satisface las ecuaciones de Cauchy Riemann en $z=0$

Question

Dejemos que

$$ f(z) = \left\{ \begin{align} &e^{-\frac{1}{z^4}} &\hspace{1mm} \mbox{if} \hspace{1mm} z \neq 0 \\ &0 &\hspace{1mm} \mbox{if} \hspace{1mm} z = 0 \\ \end{align} \right. $$

Quiero demostrar que esta ecuación satisface, las ecuaciones de CR en $z=0$

Dejemos que $z=x+iy$ donde $x,y\in\mathbb{R}$ . Entonces $$\frac{1}{z}=\frac{x-iy}{x^2+y^2}.$$

Obtengo la siguiente expresión.

$$e^{-\frac{x^4+y^4-6x^2y^2}{(x^2+y^2)^4}}\left(\cos\left(\frac{4xy^3-4x^3y}{(x^2+y^2)^4} \right)-i \sin\left(\frac{4xy^3-4x^3y}{(x^2+y^2)^4} \right)\right)$$

He demostrado que esta función satisface la ecuación de CR, pero es muy tediosa.

¿Existe una forma más elegante y hermosa? O es esta la única manera posible.

Answer 1

Para $z = x \in \Bbb R$ , $x \ne 0$ es $f(z) = e^{-1/x^4}$ puramente real, por lo que $$ \begin{aligned} u(x, 0) &= e^{-1/x^4} \\ v(x, 0) &= 0 \end{aligned} $$ y por lo tanto $$ \begin{aligned} u_x(0, 0) &= \lim_{x \to 0} \frac{u(x, 0)-u(0, 0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0} \frac{e^{-1/x^4}}{x} = \lim_{t \to \infty} \frac{t}{e^{t^4}} = 0 \\ v_x(0, 0) &= 0 \, . \end{aligned} $$ De forma similar se puede demostrar que $$ u_y(0, 0) = v_y(0, 0) = 0 \, . $$ Todas las derivadas parciales son cero en $z=0$ para que el Cauchy-Riemann se cumplen en ese punto.