No he revisado todos los detalles, pero creo que la historia podría ir como este. (Tengo que pedir disculpas: es un poco largo).
(1) Vamos a $F:\mathsf A\rightarrow \mathsf B$ ser un aditivo a la izquierda functor exacto entre dos abelian categorías. Tomar un inyectiva resolución de un objeto $A$$\mathsf A$:
$$0\rightarrow A \rightarrow I^0 \rightarrow I^1 \rightarrow \cdots $$
Que nos llame a $i: A \rightarrow I^0$ la primera de morfismos. Se aplican $F$ a esta secuencia exacta:
$$0\rightarrow FA \rightarrow FI^0 \rightarrow FI^1 \rightarrow \cdots $$
Ahora, el total derecho derivado functor de $F$ que se aplica a $A$ (pensado como un complejo concentrado en grado cero) es el complejo
$$\mathbb RF(A) = [ FI^0 \rightarrow FI^1 \rightarrow FI^2 \rightarrow \cdots ]$$
y el clásico derecho derivado de functors de $F$ son sus cohomology:
$R^nF(A) = H^n(\mathbb RF(A)) = H^n(FI^)$.
Estos ${R^nF}_n$ son un universal cohomological delta-functor y tenemos una transformación natural de functors
$$qF \Rightarrow (\mathbb RF)q$$
que es esencialmente
$$Fi: FA \rightarrow \mathbb RF(A)$$
(aquí hemos ampliado $F$ grado sabio a la categoría de complejos, y este es el grado cero de la transformación natural, debido a que $\mathbb RF(A)^0 = FI^0$ ).
(2) Ahora, vamos a $T^n : \mathsf A \rightarrow \mathsf B$ ser un cohomological delta-functor y $f^0 : F \Rightarrow T^0$ una transformación natural. Tenemos que extender esta $f^0$ a un único morfismos de delta-functors ${ f^n : R^nF \Rightarrow T^n }$.
Para ello, se observa que, en general, dadas dos a la derecha-derivable functors entre los dos, digamos, el modelo de categorías $$F,G: \mathsf C \rightarrow \mathsf D$$, and a natural transformation between them $t: F \Rightarrow G $, we have a natural transformation between the total right derived functors $\mathbb Rt : \mathbb RF \Rightarrow \mathbb RG$ debido a la característica universal de la que se derivan functors:
De hecho, si $f : qF \Rightarrow (\mathbb RF)q$ $g : qG \Rightarrow (\mathbb RG)q$
son el universal morfismos de la que se derivan functors, entonces tenemos una transformación natural
$$gt : F \Rightarrow (\mathbb R G)q$$
y, así, debido a la característica universal de derivados de functors, una única transformación natural $\mathbb R t : \mathbb R F \rightarrow \mathbb R G$ tal que $(\mathbb R t)qf = g$.
(3) por Lo tanto, tomar nuestra $f^0 : F \Rightarrow T^0$ , la extendemos a una transformación natural entre el grado de sabios inducida por functors entre los complejos. Pasando a la deriva functors, obtenemos
$$\mathbb R f^0 : \mathbb R F \Rightarrow \mathbb R T^0.$$
Tomando cohomology, para cada una de las $n$, obtenemos
$$H^n(\mathbb R f^0) : H^n (\mathbb R F) \Rightarrow H^n (\mathbb R T^0).$$
Pero estos son los clásicos derecho derivado de functors, por lo que hemos natural transformaciones
$$R^nf : R^n F \Rightarrow R^nT^0$$
y porque el clásico derecho derivado de functors son universales delta-functors, hemos natural único transformaciones
$$i^n : R^nT^0 \Rightarrow T^n$$
que se extienden a la identidad
$$i^0 : R^0T^0 = T^0.$$
La composición
$$i^n \circ R^f : R^F \Rightarrow T^n$$
es, creo, la morfismos de delta-functors que necesitamos.
