Confundido sobre cómo elegir $\delta$ sur $\epsilon, \delta$ -prueba.

Question

Intento demostrar la siguiente afirmación de forma rigurosa utilizando un $\epsilon,\delta$ - a prueba.

Demuestre si $b \in \mathbb{R}^+$ y $\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x} = L$ entonces $\lim_{x \to 0} \frac{bx}{x}=bL$ .

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Hay un par de posts en Math StackExchange relacionados con este problema. En concreto:

• Cómo responder a la pregunta de Cálculo de Michael Spivak Capítulo 5 Problema 14
• lim0()=, entonces lim0()= Una cuestión particular

Entiendo cómo manipular los símbolos para demostrar el enunciado sin usar el $\epsilon,\delta$ concepto (es decir, observar que $x \to 0$ es lo mismo que $bx \to 0$ $\forall b \in \mathbb{R}^+$ ). Sin embargo, Estas dos respuestas contienen pruebas con un paso que no entiendo (detallado a continuación).

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He escrito la prueba a continuación de una manera más pedante, tratando de explicar el porqué de cada paso, y resaltando mi pregunta en línea.

Prueba: Sea $\lim_{x \to 0}\frac{f(x)}{x} = L$ . Entonces, por definición, $\forall \epsilon, \exists \delta'$ s.t. $\forall x, \lvert{x}\rvert < \delta' \implies \lvert{\frac{f(x)}{x} - L}\rvert < \epsilon$ . Como esto es cierto para cualquier epsilon, y porque $b \in \mathbb{R}^+$ Sabemos que $\frac{\epsilon}{\lvert{b}\rvert}$ está bien definida. Así, $\lvert{\frac{f(x)}{x} - L}\rvert < \frac{\epsilon}{\lvert{b}\rvert}$ .

Ahora, dado cualquier $\epsilon > 0$ elegimos $\delta = \frac{\delta'}{\lvert{b}\rvert}$ . Entonces $\lvert{x}\rvert < \delta \implies \lvert{x}\rvert < \frac{\delta'}{\lvert{b}\rvert}$ . (Mi pregunta: ¿cómo se justifica esto? ¿Cómo podemos simplemente elegir este nuevo $\delta$ ? A mí me parece que es magia. ¿Y si esto $\delta$ es mayor que el $\delta'$ que utilizamos para deducir el límite? Después de todo, podríamos elegir $b$ para que $-1 < b < 1$ ¿verdad? O estamos diciendo que ce es la condición por la que la afirmación es verdadera, y debe ser capaz de encontrar tal $\delta$ ?)

Entonces $\lvert{x}\rvert < \frac{\delta'}{\lvert{b}\rvert} \implies \lvert{bx}\rvert < \delta' \implies \lvert{\frac{f(bx)}{bx} - L}\rvert < \frac{\epsilon}{\lvert{b}\rvert} \implies \lvert{b}\rvert\lvert{\frac{f(bx)}{bx} - L}\rvert < \epsilon \implies \lvert{\frac{f(bx)}{x} - bL}\rvert < \epsilon$ .

Así, por definición, $\lim_{x \to 0}\frac{bx}{x} = bL$ .

$\blacksquare$

Answer 1

Usted pregunta

¿Cómo podemos elegir simplemente este nuevo δ? A mí me parece mágico. ¿Y si este δ es mayor que el δ′ que usamos para deducir el límite?

En este juego adverso contra un oponente que proporciona $\epsilon$ y le reta a encontrar un $\delta$ eres libre de utilizar cualquier método que funcione.

Si tienes acceso a la magia, hazlo. Si no, la forma habitual de encontrar un $\delta$ es manipular el $\epsilon$ desigualdad para ver lo que te dice sobre la variable independiente - en este ejemplo, lo cerca que está $x$ debe ser para $0$ . Luego se escribe la lógica de la desigualdad en el orden inverso, partiendo de una desigualdad con $\delta$ para terminar con el $\epsilon$ uno que quieras. Eso es justo lo que hiciste.

Cualquier trabajo $\delta$ está bien. De hecho, siempre habrá muchos, porque $\delta$ le indica lo cerca que está $x$ debe ser para $0$ (en su ejemplo). Si un determinado $\delta$ , digamos que $0.02$ funciona, entonces también lo hará cualquier valor menor, por lo que podría elegir $\delta = 0.01$ o $\delta = 0.00001$ si quisieras.

En su ejemplo, suponga que $b = 1/2$ . Entonces su argumento muestra que se puede elegir $\delta = 2\delta^\prime$ que sí es mayor que $\delta^\prime$ . Está bien. Con ese valor de $b$ se está acercando a la $0$ límite "más rápido" para tener más margen de maniobra a la hora de determinar la proximidad de $x$ debe ser para $0$ .

Answer 2

Es un poco complicado responder a preguntas como "¿Cómo podemos elegir simplemente este nuevo $\delta$ ?' Elegir un elemento en un conjunto no vacío es algo que siempre se puede hacer en las matemáticas estándar.

A partir de la suposición de que $\lim_{x\to 0} \frac{f(x)}{x} = L$ sabemos que, para cualquier $\epsilon>0$ el conjunto de números que satisfacen

$$\left|\frac{f(x)}{x}-L<\frac{\epsilon}{|b|}\right| \tag{1}$$

es no vacía. Por lo tanto, podemos elegir uno $\delta'$ . Una vez que lo hayamos escogido podemos hacer lo que queramos con él, en particular podemos definir $\delta = \frac{\delta'}{|b|}$ . Entonces, exactamente por el argumento que has descrito, tenemos

$$|x|<\delta \implies \left|\frac{f(bx)}{x}-bL\right|<\epsilon \tag{2}$$

lo que demuestra que $\lim_{x\to 0} \frac{f(bx)}{x} = bL$ . Usted señala con razón que $\delta$ puede ser mayor que $\delta'$ . Esto es cierto pero irrelevante. El único hecho sobre $\delta'$ que su prueba de (2) utiliza es que satisface $(1)$ . No es necesario saber nada más al respecto (en particular, no es que sea más grande que $\delta$ ).