Cálculo de los símbolos de Christoffel para una métrica concreta

Question

Estoy atascado con el siguiente problema. Se nos da la siguiente métrica $$ds^2 = c^2dt^2 - a^2(t)\bar{g}_{ij}dx^idx^j$$ y quiero calcular sus símbolos de Christoffe pero sigo obteniendo respuestas erróneas. Por ejemplo $$ \Gamma^{\mu}_{00} $$ se supone que es 0 (los índices griegos van de 0 a 3, y los latinos de 1 a 3), mientras que yo sigo obteniendo términos métricos mezclados. ¿Hay algún truco que alguien pueda compartir para facilitar el cálculo?

Gracias

Answer 1

$$\Gamma^\mu_{00}= g^{\mu\tau} [0 0,\tau]$$ avec $$2[0 0,\tau]= g_{\tau 0, 0} + g_{0\tau, 0}- g_{0 0, \tau} $$ Ahora $g_{00}= c^2$ es constante y $g_{\tau 0}= g_{0 \tau}$ es constante (cuando $\tau = 0$ ) o $=0$ de lo contrario -- por lo que cada derivado es $=0$ También. Así que $\Gamma^\mu_{00}=0 $ (sin término mixto). Si llegas a otra cosa, escribe cómo has llegado a ella.

Answer 2

Los símbolos de Christoffel pueden obtenerse a partir de las ecuaciones del movimiento utilizando la regla :

$$ \frac{d^2 x^\mu}{d\lambda^2} + \Gamma^\mu_{\alpha\beta} \frac{dx^\alpha}{d\lambda} \frac{dx^\beta}{d\lambda} = 0$$

Para obtener las ecuaciones de movimiento primero escriba un Lagrangiano basado en su métrica,

$$ L = -c^2 t'^2 + a^2 \bar{g}_{ij} x'^i x'^j, $$

donde el $'$ denota la diferenciación con respecto a un parámetro $\lambda$ y $\dot{}$ representará la diferenciación con respecto a $t$ ..

La ecuación de Euler-Lagrange para la componente temporal de la ecuación geodésica es entonces

$$\frac{\partial L}{\partial t} = \frac{d}{d\lambda} \frac{\partial L}{\partial t'} $$

$$ 2a \dot{a} \bar{g}_{ij} x'^i x'^j = \frac{d}{d\lambda} (-2c^2t')$$

$$ 2a \dot{a} \bar{g}_{ij} x'^i x'^j = -2c^2t''$$

$$ c^2 t'' + a \dot{a} \bar{g}_{ij} x'^i x'^j = 0$$

$$ t'' + \color{blue}{\frac{1}{c^2}\left( \frac{\dot{a}}{a}\right) a^2 \bar{g}_{ij} }x'^i x'^j = 0$$

De esto podemos ver que,

$$ \Gamma^t_{ij} = \frac{1}{c^2}\left( \frac{\dot{a}}{a}\right) a^2 \bar{g}_{ij} $$