consejos para el cálculo de la integral doble

Question

Estaré muy agradecido por cualquier pista en la demostración de esta expresión tal vez debería hacer algunas expresiones de sustitución o algo así cualquier ayuda sería útil, ¡gracias!

$$\iint \limits_{|x|+|y|\le 20} \frac{\mathrm dx\,\mathrm dy}{50 - 5\sin^5 (x)+\cos^7 (2y)} \, >16$$

Answer 1

En esta respuesta acotamos la integral dada $I$ desde abajo por integrales más simples. Denotemos el dominio de integración $\{(x,y): |x|+|y|\le 20\}$ por $D$ y la función integrada $\tfrac 1{50 - 5\sin^5 x+\cos^7 2y}$ por $f(x,y)$ .

Desde $f(x,y)\ge \tfrac 1{56}$ para cada $x,y\in D$ tenemos $I\ge \tfrac {|D|}{56}=14.28\dots$ , donde $|D|=800$ es el área del dominio $D$ .

Ya que para $|t|<1$ tenemos $\tfrac{1}{1-t}>1+t$ , $I\ge I_1=\tfrac 1{50} \int_D 1+t(x,y) dxdy$ , donde $t(x,y)=\tfrac 1{10}\sin^5 x-\tfrac 1{50}\cos^7 2y$ . Dado que el dominio $D$ es simétrica con respecto a $y$ -y la función $\sin^5 x$ es impar, su sumando se anula en $I_1$ Así que $I_1=16-\tfrac 1{50^2}I’$ , donde $$I’=\int_D \cos^7 2y\, dxdy=\int_{-20}^20 2(20-|y|) \cos^7 2y\, dy.$$

Desde $|\cos^7 2y|\le 1$ para cada $(x,y)\in D$ tenemos $I’\le |D|$ Así que $I_1\ge 16-\tfrac {|D|}{50^2}=15.68$ . Cálculo numérico de Wolfram Alpha( https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+2(20-abs(y))(cos(2y)%5E7)+dy+de+%E2%80%9320+a+20(cos(2y)%5E7)+dy+from+%E2%80%9320+to+20) ) da $I’\simeq 0.92124$ que implica $I_1\simeq 15.99959476$ que es casi el límite inferior requerido.

Un poco mejor atado

$$I\ge \frac{|D|^2}{\int_D \frac{1}{f(x,y)}dxdy}=\frac{|D|^2}{\int_D 50 - 5\sin^5 x+\cos^7 2y\, dxdy}=$$ $$\frac{|D|^2}{50|D|+I’}=\frac{16^2}{16+\tfrac 1{50^2}I’}>16-\tfrac 1{50^2}I’$$

debe seguirse de la desigualdad integral de Cauchy-Schwarz.

Por fin, ya que para $|t|<1$ tenemos $\tfrac{1}{1-t}>1+t+t^2+t^3$ , $$I\ge I_2=\frac 1{50} \int_D 1+t(x,y)+ t^2(x,y)+t^3(x,y) dxdy.$$ Desde $t(x,y)\le \tfrac 1{10}+\tfrac 1{50}=0.12$ para cada $x,y$ ,

$$I_2\ge \frac 1{50} \int_D 1+t(x,y)+ t^2(x,y)-0.12^3 dxdy=$$ $$\frac 1{50} \int_D 1+\frac 1{10}\sin^5 x-\frac 1{50}\cos^7 2y + \left(\frac 1{10}\sin^5 x-\frac 1{50}\cos^7 2y\right)^2 -0.12^3 dxdy =$$ $$\frac 1{50} \int_D 1-\frac 1{50}\cos^7 2y + \frac 1{100}\sin^{10} x+\frac 1{250}\sin^5 x\cos^7 2y+ \frac 1{2500}\cos^{14} 2y -0.12^3 dxdy =$$ $$\frac {|D|}{50}(1-0.12^3)+ \frac 1{50} \int_D -\frac 1{50}\cos^7 2y + \frac 1{100}\sin^{10} x+ \frac 1{2500}\cos^{14} 2y\, dxdy>$$ $$15.97235+\frac 1{5000} \int_D -2\cos^7 2y + \sin^{10} x\, dxdy>16.0119.$$

(la integral final la calculamos con Mathcad).