¿Derivada de un infinitesimal?

Question

Actualmente estoy estudiando cálculo de variaciones (para mi curso de mecánica clásica). He visto, en múltiples ocasiones, la derivada de una cantidad infinitesimal definida como la siguiente $$\frac{d}{dt} \delta q(t)=\delta \frac{dq(t)}{dt}$$

Ahora, tengo una intuición geométrica sobre cómo funciona esto. Al cambiar una trayectoria $q(t)$ entre dos instantes de tiempo $t_1$ y $t_2$ por $\delta q(t)$ Entiendo que es natural que las derivadas de $q(t)$ también cambiará, lo que se refleja en la fórmula dada anteriormente. Pero no entiendo cómo se produce esta igualdad en un sentido riguroso.

Se agradecería mucho cualquier idea al respecto. Gracias por su tiempo.

Answer 1

No necesitas infinitesimales para hacer el cálculo de variaciones. Basta con considerar la adición de una cantidad finita, $$\delta q(t) = \epsilon \gamma(t),$$ donde $\gamma(t)$ es alguna curva y $\epsilon$ es un pequeño número positivo que puede ser enviado a cero más adelante.

Aunque es posible definir los infinitesimales de forma que sean rigurosos, es un campo no muy popular llamado "análisis no estándar" y creo que poca gente en este foro los utilizará.