Sea A una matriz cuadrada de orden n. Demuestre que si $A^2 = A$ entonces $\operatorname{rank}(A) + \operatorname{rank}(I - A) = n$ .

Question

$A(I-A) = 0\implies\operatorname{rank}(A) + \operatorname{rank}(I-A)\le n$ .

He conseguido esto pero no he podido ir más allá. Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Dejemos que $x\in \Bbb R^n$ entonces $$x=Ax+(x-Ax)\in \operatorname{Im}A+\operatorname{Im}(I-A)$$ y luego dejar que $y\in \operatorname{Im}A\cap \operatorname{Im}(I-A)$ así que $y=Ax=z-Az$ para algunos $x,z\in \Bbb R^n$ por lo que aplicar $A$ obtenemos $$y=Ax=A^2x=Az-A^2z=Az-Az=0$$ así que $$\operatorname{Im}A\cap \operatorname{Im}(I-A)=\{0\}$$

por lo que obtenemos $$\Bbb R^n=\operatorname{Im}A\oplus \operatorname{Im}(I-A)$$ y el resultado se sigue tomando la dimensión.

Answer 2

$dim(kerA) +rank A =n$ , $A(I-A) =0$ implica $rank(I-A)\leq dim(kerA)$

Answer 3

$A^2=A$ Por lo tanto $A$ debe dividir el polinomio mínimo de $x(x-1)$ que indica:
1). $A$ todos los valores propios posibles son $1,0$ .
2). $A$ es diagonalizable. Es decir, existe invertible $P$ tal que $$A=P\text{diag}(1,1,\cdots,1,0,0,\cdots,0)P^{-1}=P\Lambda P^{-1}$$

Tenga en cuenta que $$\text{rank}A=\text{rank}\Lambda$$ Y eso $$\text{rank}(I-A)=\text{rank}(P(I-A)P^{-1})=\text{rank}(I-\Lambda)$$ ¿Puedes llevarlo desde aquí?

Answer 4

Como ha demostrado $\operatorname{rank}(A) + \operatorname{rank}(I-A)\le n$ la desigualdad opuesta proviene de la subaditividad de rango $$ n=\operatorname{rank}(I)=\operatorname{rank}(A+I-A)\le\operatorname{rank}(A) + \operatorname{rank}(I-A). $$