límite de la suma de los abdominales del seno de los enteros positivos

Question

Ayudar a demostrar que $$ \lim_{n \to +\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n|\sin(k)| = \frac{2}{\pi}$$ .

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He intentado convertirlo en una integral con un abs de chebyshev polinomail, pero no puedo ir más allá.

Answer 1

Las cantidades $\{ e^{icn} | n \in \mathbb{N} \}$ , donde $c \in \mathbb{R}$ es tal que $c/\pi$ es irracional, están equidistribuidos en el círculo unitario en $\mathbb{C}$ . La cantidad $$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n |\sin (ck)|$$ es, por tanto, sólo el valor absoluto medio de la parte real de $e^{icn}$ que se puede calcular (gracias a la equidistribución) como una integral sobre el círculo como $$ \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} |\sin (\theta)|\, d\theta = \frac{2}{\pi}.$$ Su primera ecuación es sólo el caso especial $c = 1$ .