Qué es el adjunto del operador integral $S$ ?

Question

Me gustaría encontrar el adjunto del operador integral parametrizado con respecto a $L^2$ norma \begin{align} &S: L^2[0,2\pi] \to L^2[0,2\pi]\\ &(S\varphi)(t)=\int_{0}^{2\pi} \Phi(p(t),z(\tau))\varphi(\tau)|z'(\tau)|d\tau \end{align} donde $z(t):=(z_1(t),z_2(t)), t\in [0,2\pi]$ y $p(\tau):=(p_1(\tau),p_2(t)), \tau\in [0,2\pi]$ ,

también $\Phi(p(t),z(\tau))=K_0(|(p(t)-z(\tau)|)$ que es una función de Bessel modificada y es real

Utilizando $<S\varphi, \psi>=<\varphi,S^*\psi>$ , el adjunto obtenido de $S$ es igual a \begin{align} \int_{0}^{2\pi} \Phi(z(t),p(\tau))\psi(\tau)|p'(t)|dt \end{align}

¿Es cierto este resultado? Gracias de antemano.

Answer 1

\begin{align} \langle S\varphi,\psi \rangle&=\int_0^{2\pi}\int_0^{2\pi}\psi(t)\Phi(p(t),z(\tau))\varphi(\tau)|z'(\tau)|\,\mathrm{d}\tau\mathrm{d}t \\ &=\int_0^{2\pi}\int_0^{2\pi}\psi(\tau)\Phi(p(\tau),z(t))\varphi(t)|z'(t)|\,\mathrm{d}\tau\mathrm{d}t \\ &=\langle \varphi,S^*\psi\rangle, \end{align} con $$S^*\psi(t)=\int_0^{2\pi}\Phi(p(\tau),z(t))\psi(\tau)|z'(t)|\,\mathrm{d}\tau.$$ Por supuesto, este es el camino largo intercambiando las variables integradoras. Se podría simplemente reconocer que los operadores de Hilbert-Schmidt de la forma $$ \varphi \mapsto \int_a^bK(x,y)\varphi(y)\,\mathrm{d}y $$ tienen adjunto $$ \psi\mapsto \int_a^b \overline{K(y,x)}\psi(y)\,\mathrm{d}y. $$ En este caso, parece que todo es real, por lo que los conjugados son irrelevantes.