prueba para $[\vec{a}\cdot (\vec{b} \times \vec{c})]\vec{a}=(\vec{a}\times\vec{b})\times(\vec{a}\times\vec{c})$

Question

Encuentro esta propiedad de triple producto en wikipedia Pero no puedo encontrar pruebas para $$[\vec{a}\cdot (\vec{b} \times \vec{c})]\vec{a}=(\vec{a}\times\vec{b})\times(\vec{a}\times\vec{c})$$
El producto cruzado del lado derecho produce un vector mientras que el lado izquierdo produce un escalar.
Así que esto me hizo tropezar con la elaboración de esta ecuación.
¿Cómo consigo que un escalar sea igual a un vector?
¿Alguien sabe alguna prueba de esto?

Answer 1

Todas las cantidades que aparecen a continuación son vectores. Utilizaré las siguientes propiedades de los productos cruzados y los productos punto:

$$ (x \times y) \times z = (x \cdot z) y - (y \cdot z)x \\ x \cdot ( y \times z) = y \cdot (z \times x) = z \cdot (x \times y) \\ x \cdot (x \times y) = 0 $$

Empezamos por el lado derecho. Por comodidad, denotamos $a \times c = v$ . Entonces

\begin{align} (a \times b) \times (a \times c) = (a \times b) \times v &= (a \cdot v)b - (b \cdot v) a \\ &= (a \cdot(a \times c) )b - (b \cdot(a \times c)) a \\ &= 0 - (- a \cdot (b \times c))a \\ &= (a \cdot (b \times c) )a \end{align}