Series asintóticas (divergentes)

Question

MOTIVACIÓN. Después de haber leído en detalle un artículo de Alf van der Poorten, he leído un documento muy breve de Roger Apéry. Estoy interesado en encontrar una prueba de una expansión de serie en este último, que no se da en él. Así que Supuse que debía ser enunciado o derivado de un teorema sobre el tema .

En Apéry, R., Irracionalidad de $\zeta 2$ y $\zeta 3$ , Sociedad Matemática de Francia, Asterisco 61 (1979) hay un divergente expansión en serie para una función que me gustaría entender. Aquí está mi traducción de la parte relevante para esta pregunta

(...) dada una secuencia real $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k}$ una función analítica $f\left( x\right) $ con respecto a la variable $\frac{1}{x}$ que tiende a $0$ con $\frac{1}{x}$ admite un (único) expansión en la forma $$f\left( x\right) \equiv \sum_{k\geq 1}\frac{c_{k}}{\left( x+a_{1}\right) \left( x+a_{2}\right) \ldots \left( x+a_{k}\right) }.\tag{A}$$

Se ha añadido una copia del original:

y la traducción por Generic Human del texto después de la fórmula:

" (Escribimos en lugar de = para tener en cuenta las aversiones de matemáticos que, siguiendo a Abel, Cauchy y d'Alembert, consideran que las que las series divergentes son una invención del diablo; de hecho, sólo sólo utilizamos una suma finita de términos, pero el número de términos es una función función ilimitada de x). "

Nota: . Por lo que entiendo, en base a este último texto, la ampliación de $f(x)$ sur $(\mathrm{A})$ es en general un divergente y no una serie convergente, pero la respuesta existente [de WimC] parece indicar lo contrario.

La suma finita correspondiente aparece y se demuestra en la sección 3 del artículo de Alfred van der Poorten Una prueba que Euler pasó por alto... La prueba de Apéry de la irracionalidad de $\zeta (3)$ como

Para todos $a_{1}$ , $a_{2}$ , $\dots$ $$ \sum_{k=1}^{K}\frac{a_{1}a_{2}\cdots a_{k-1}}{(x+a_{1})(x+a_{2})\cdots(x+a_{k})}= \frac{1}{x}-\frac{a_{1}a_{2}\cdots a_{K}}{x(x+a_{1})(x+a_{2})\cdots(x+a_{K})},$$ $$\tag{A'} $$

Preguntas:

1. Es la serie $(A)$ ¿realmente divergente?
2. Cuál es el teorema que afirma o a partir de qué expansión $(\mathrm{A})$ ¿se puede derivar?
3. ¿Podría indicar una referencia?

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He publicado en MathOverflow una variante de esta pregunta.

Answer 1

Escribir $g_1(x)=f(1/x)$ da $$ g_1(x)\equiv\sum_{k\ge1}\frac{c_kx^k}{(1+a_1x)(1+a_2x)\dots(1+a_kx)}\tag{1} $$ que se desvanece en $x=0$ .

Definir recursivamente $$ g_{n+1}(x)=\frac{(1+a_nx)g_n(x)}{x}-c_n\tag{2} $$ donde $$ c_n=\lim_{x\to0}\frac{g_n(x)}{x}\tag{3} $$ Entonces $$ g_n(x)\equiv\sum_{k\ge n}\frac{c_kx^{k-n+1}}{(1+a_nx)(1+a_{n+1}x)\dots(1+a_kx)}\tag{4} $$ es otra serie como $(1)$ (que desaparece en $x=0$ ).

La serie en $(1)$ puede converger o no, como en el caso del Serie de sumas de Euler-Maclaurin . Como ocurre con la mayoría de las series asintóticas, sólo nos interesan los primeros términos; el resto (no los términos restantes) puede estar acotado por algo más pequeño que los términos anteriores. Por lo tanto, la convergencia no es un problema.

Answer 2

Esta fórmula puede ser más fácil de entender si se expresa para $x$ (en lugar de $\tfrac{1}{x}$ ) cerca de $0$ . Que la secuencia $a_1, a_2, \dotsc$ se le dará. Para una analítica $f$ con $f(0)=0$ entonces dice que existe $c_1, c_2, \dotsc$ tal que

$$ f(x) \equiv \sum_{k \geq 1}\frac{c_kx^k}{(1+a_1x)\cdots(1+a_kx)} $$

Ahora $(1+a_1x)f(x)$ también se desvanece en $x=0$ así que

$$ \frac{(1+a_1x)f(x)}{x} = c_1 + b_1x + b_2x^2 + \dotsc $$

que te da $c_1$ . Repita el proceso con

$$ \frac{(1+a_1x)f(x)}{x} - c_1 $$

para encontrar $c_2$ y así sucesivamente. Sin embargo, no tengo ninguna referencia, y al hojear las referencias que has proporcionado me pregunto: ¿cómo puede la gente obtener ideas tan maravillosas?

Answer 3

No estoy seguro de que Apéry dijera realmente que la serie era divergente: Creo que sólo estaba explicando la notación y diciendo que si la convergencia no es probado entonces es útil tener una notación que no implique convergencia.

• En caso de que no sea negativo $a_i$ y positivo $x$ puede comprobar que si $f(1/t)=\sum_{k\ge 1} b_k t^k$ ( $t=1/x$ ), tenemos $$c_k=\sum_{i=1}^k b_i\left([x^{i-1}]\prod_{j=1}^{k-1} x+a_j\right)$$ Como todos los coeficientes son no negativos: $$\prod_{j=1}^{k-1} 1/t+a_j\ge 1/t^{i-1} [x^{i-1}] \prod_{j=1}^{k-1} x+a_j$$ Así, $$\left|\frac{c_k}{\prod_{j=1}^k 1/t+a_j}\right|\le \sum_{i=1}^k \frac{|b_i| t^i}{1+a_k t}\le \sum_{i=1}^k |b_i| t^i$$ que demuestra la convergencia de la serie siempre que $t$ es menor que el radio de convergencia de $f(1/t)$ .

• Para los negativos $a_i$ , elige $a_i=-2^i$ y $f(1/t)=1/t$ la serie es: $$\sum_{k\ge 1} \frac{1/a_k}{\prod_{i=1}^k 1+1/(ta_i)}$$ que es absolutamente convergente para $t\ne -1/a_j$ y su equivalente en torno a $t\rightarrow -1/a_j$ a $$\frac 1{\prod_{i=1}^j 1+1/(ta_i)}\sum_{k\ge j} \frac{1/a_k}{\prod_{i=j+1}^k 1-a_j/a_i}$$ que diverge como $t\rightarrow -1/a_j$ . Así que hay un conjunto abierto alrededor de $-1/a_j$ donde la serie no converge a $f(1/t)$ y la serie no puede converger a $f(1/t)$ en un barrio de $+\infty$ ni siquiera en casi todas partes.