Estructura del grupo multiplicativo de un campo finito

Question

Dejemos que $p$ sea primo y $n\in\mathbb{N}$ . ¿Es cierto que $\left(\mathbb{F}_{p^n}\right)^\times\simeq \mathbb{Z}_{p^n-1}$ cuando se mira a $\mathbb{Z}_{p^n-1}$ Además, supongamos que $p^n-1$ es primo. ¿Se mantiene en este caso el isomorfismo anterior, cuando se mira $\mathbb{Z}_{p^n-1}$ ¿multiplicar?

Answer 1

1) Sí. Si $F$ es un campo y $G$ un subgrupo finito de $F^\times$ entonces $G$ es cíclico. Esto se debe a que todos los elementos de $G$ deben ser raíces del polinomio $X^{|G|}-1$ y ese polinomio tiene como máximo (por tanto, exactamente) $|G|$ raíces.

2) No. Multiplicativamente, $\Bbb Z_{p^n-1}$ ni siquiera es un grupo.