Real De Inducción A Través De Múltiples Variables?

Question

He visto en varios lugares diferentes* que uno puede usar normal de la inducción matemática para demostrar la verdad de un enunciado que no depende sólo de una variable (por ejemplo, $x$,) pero múltiples variables (por ejemplo, $a$, $b$, y $c$.) Puede un uso real de la inducción (que se describe en este documento) en una manera similar?

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*Algunos Ejemplos:

• Matemáticas de Intercambio de la Pila - yo. e.: aquí en este sitio:
  • ¿Cómo definir variables para hacer la inducción?
  • La inducción de estados de cuenta con más de una variable.
• Otro Sitio:
  • Prueba método: Multidimensional de la inducción (de MathBlog)

Answer 1

$\newcommand{\R}{\mathbb{R}}$ Esta es una excelente pregunta. De hecho, yo no sé de un multivariable versión de real de inducción que es verdaderamente satisfactoria, por lo cual quiero decir que se da una prueba técnica que no es obviamente inferior a la estándar.

Vamos a concentrarnos en $[0,1]^n$ a fijar las ideas. Un útil versión de real de inducción nos debe permitir demostrar que $[0,1]^n$ es compacto y/o que está conectado. Tenga en cuenta que ya hay un poco de una limitación, y es que si sabemos lo suficiente topología básica que no necesita ninguna nueva prueba técnica: se puede demostrar que (finito es más fácil, y es suficiente) los productos de la cuasi-compacto (resp. conectado) los espacios son cuasi-compacto (resp. conectado). Lo que sea que venga tiene que ser medido en contra de eso.

Hace aproximadamente un año escribí una pequeña nota que dar "inductivo" a prueba de la totalidad de Heine-Borel Teorema de compacidad de $[0,1]^n$. (Usted podría el estado de otras maneras, pero esto lleva al contenido completo.) Aquí es un extracto de la introducción a la nota (que no está disponible en cualquier lugar; vamos a ver por qué en breve):

Es el propósito de esta nota para dar un "inductivo" a prueba de Heine-Borel Teorema. Al $n =1$ lo hicimos anteriormente por un método que se llama real de la inducción: repetimos el argumento aquí en la auto-contenida términos. En resumen, este método tiene la ventaja de la orden-la integridad de la $[a,b]$ empujando la verdad de una proposición de izquierda a derecha. (Muchos de los autores anteriores han introdujo métodos similares.) Una limitación real de la inducción es que no se aplica directamente en $\R^n$$n > 1$, en la que el orden de la estructura está ausente. En este caso, si uno quiere llevar a través de la "expansión de ejemplo" estilo de la prueba de $\R$ $\R^n$es necesario establecer un auxiliar de hecho, el Anillo de Lema. Para establecer el Anillo Lema en $\R^n$ $n \geq 2$ necesitamos utilizar la compacidad de los límites de una $n$-cubo. Así terminamos la prueba mediante el uso de "discreto" inducción matemática!

Supongo que también ayudará a ver:

Anillo Lema Deje $n \geq 2$. Supongamos que Heine-Borel tiene en $\R^{n-1}$, vamos a $[a,b]^n \subset \R^n$ ser un cubo, y deje $U$ ser un almacén abierto barrio de $\partial [a,b]^n$$\R^n$. Luego hay $\epsilon > 0$ tal que $[a,b+\epsilon]^n \setminus [a,b-\epsilon]^n \subset U$.

¿Qué está pasando aquí? La más evidente de la idea aquí es hacer una "verdadera inducción sobre la longitud de un subcubo". En otras palabras, comenzar con la compacidad de un subcubo $[0,x]^n$ e intentar establecer la compacidad de un tamaño ligeramente superior subcubo $[0,x+\delta]^n$. Esto funciona como un sueño al $n = 1$, pero cuando se $n \geq 2$ nos topamos con el problema de que un cubo, menos aún ligeramente más pequeño que uno no tiene el diámetro se aproxima a cero, de modo que usted no sólo puede tomar uno de los elementos de la cubierta. Usted realmente tiene que hacer algo, que es lo que el "Anillo Lema" está allí.

Yo estaba feliz con esto por un día o dos. Me gustó especialmente el hecho de que se mixto "discretos inducción matemática" continuo "inducción matemática", y yo estaba incluso pensando en escribir para la publicación. Luego me mostró a un colega mío, que es un topologist. Él inmediatamente dijo, "por supuesto, estamos demostrando el Tubo Lema." Y me dijo "No, es diferente, porque bla, bla, bla," punto en el cual fue muy generosamente me dio una extraña declaración acerca de las foliaciones que pensar, y yo salí de su oficina de pensar por un momento sobre eso. Un par de horas más tarde me di cuenta de que él tenía razón: había pasado una página completa de la escritura de un argumento que asciende a probar un caso muy especial de el Tubo Lema de una manera que es mucho más complicado que el (muy simple) prueba del caso general. Así que esto no es una buena manera de probar el de Heine-Borel Teorema.

Si uno está dispuesto a colocar el énfasis en la estructura de orden, la cual, ya no parece ser absolutamente claro, permítanme asegúrese de decir es lo que me parece ser la característica de la verdadera inducción -- luego hay otras cosas que hacer. Oleg Viro ha publicado recientemente un muy atractivo problema del estudiante libro en (básico, a nivel de pregrado) de topología general, y que tiene dos ejercicios en que se llama inducción de la compacidad y la inducción en la conexión. Si no te importa el hecho de que estos no tienen nada que ver con estructuras de orden, definitivamente, a ver esto como una respuesta plausible a la pregunta.

Answer 2

El más simple al estado y a probar la versión de "real de la inducción" en la $\mathbb{R}^n$ es el siguiente: supongamos $A\subseteq\mathbb{R}^n$ es un vacío subconjunto cerrado de tal forma que si $p\in A$, a continuación, algunos de bola alrededor de $p$ está contenido en $A$. A continuación, $A$ es de $\mathbb{R}^n$. (Prueba: de Las hipótesis que se acaba de decir $A$ es un vacío clopen subconjunto de $\mathbb{R}^n$, e $\mathbb{R}^n$ está conectado).

La versión de "real de la inducción" en Pete Clark papel es ligeramente diferente de este, porque se utiliza la más débil de las versiones de la "abierto" y "cerrado" hipótesis y sólo termina afirmando que si $0\in A$$[0,\infty)\subseteq A$. En esta versión también se generaliza a $\mathbb{R}^n$, como sigue. Supongamos $A\subseteq [0,\infty)^n$ contiene el origen y satisface:

1. Si $x=(x_1,\dots,x_n)\in A$, hay un $\epsilon>0$ tal que $[x_1,x_1+\epsilon)\times\dots\times[x_n,x_n+\epsilon)\subseteq A$
2. Si $x=(x_1,\dots,x_n)\in [0,\infty)^n$, y para algunos $i$, $\{x_1\}\times\dots\times\{x_{i-1}\}\times[0,x_i)\times\{x_{i+1}\}\times\dots\times\{x_n\}\subseteq A$, a continuación,$x\in A$.

A continuación, $A$ es de $[0,\infty)^n$. (Prueba: Por inducción sobre $n$, $A$ debe contener todos los de $\{0\}\times[0,\infty)^{n-1}$. Para cualquier $y\in [0,\infty)^{n-1}$, $n=1$ caso ahora implica $A$ contiene todos los de $[0,\infty)\times\{y\}$.)