Convergencia débil en el espacio de Bochner cuando el espacio de Banach es de dimensión finita

Question

Consideremos el espacio de Banach separable $V$ y que sea de dimensión finita.

Consideremos ahora el espacio de medidas $T$ y considerar $L^2(T;V)$ . Se sabe que la convergencia débil y fuerte de una secuencia en $V$ son equivalentes si $V$ es de dimensión finita. ¿Sucede lo mismo en el espacio de Banach $L^2(T;V)$ ? Mi opinión es que no, pero me cuesta encontrar un contraejemplo.

También he tratado de probarlo usando ese $L^2(T;V)^*=L^2(T;V^*)$ y tratamos de usar que podemos escribir cada elemento en $\xi \in V^*$ como $\xi = \xi_i e^{i}$ Así que... deberíamos ser capaces de decir que

$$ <\xi,u>=\int_T <\xi(t),u(t) > \mathrm{d}\mu=\int_T <\xi_i(t)e^i,u^j(t)e_ j>\mathrm{d}\mu=\int_T \xi_i(t) u^i(t) \mathrm{d} t, $$ por lo que si elegimos $\xi(t)=e^i$ tendremos que $e^i(u(t))=u^i$ y entonces deberíamos ser capaces de proceder con la prueba estándar... pero esto se siente... ¿probablemente no es correcto? Creo que el problema radica en suponer que puedo escribir un elemento en el dual de $V$ como yo. Cualquier aportación será muy apreciada.

Answer 1

La respuesta es: No si $T$ es arbitraria.

Por ejemplo, si $T=\{ 1,\ldots,n\}$ con la medida de recuento y $V=\mathbb{R}$ entonces $L^2(T,V)$ es simplemente $\mathbb{R}^n$ con la norma euclidiana; así que en este caso es realmente cierto.

Por otro lado, si $T=\{ 1,2,\ldots, n,\ldots\}$ y $V=\mathbb{R}$ entonces $L^2(T,V)=\ell^2$ es el espacio de las secuencias cuadradas sumables, es decir, x $=(x_i)_{i\in \mathbb{N}}\in \ell^2$ si y sólo si $$ \| x\|_{\ell^2}^2:= \sum_{n\in\mathbb{N}} |x_i|^2 <\infty. $$ La secuencia de elementos $e^j\in \ell^2$ dado por $$ e^j:=(0,\ldots, 0,1,0,\ldots), $$ donde el único $1$ está en el $j$ -ésima posición, satisface que $e^j\to 0$ débilmente pero no fuertemente.

En general, siempre que $L^2(T;V)$ es inifinito dimensional podrás construir contraejemplos simplemente tomando un conjunto ortonormal contable.