¿Existe un análogo en geometría algebraica del teorema del gráfico cerrado?

Question

En el análisis funcional, el teorema del gráfico cerrado afirma que si un mapa lineal $T: X \to Y$ entre dos espacios de Banach $X, Y$ tiene un gráfico cerrado $S := \{ (x,Tx): x \in X \}$ entonces el mapa es continuo. Por lo tanto, da un criterio de regularidad de un mapa en términos de regularidad del gráfico de ese mapa.

Tengo curiosidad por saber si existe algún enunciado análogo en la geometría algebraica. La formulación ingenua sería: si $T: X \to Y$ era una función (en el sentido de la teoría de conjuntos) entre las variedades algebraicas $X, Y$ sobre un campo algebraicamente cerrado $k$ cuyo gráfico $S := \{ (x,Tx): x \in X \}$ era también una variedad algebraica, entonces $T$ sería un mapa regular . (Aquí seré vago en cuanto a si quiero que las variedades sean afines, proyectivas, cuasiproyectivas o abstractas). Pero esto es falso, incluso en la característica cero: por ejemplo, la función de coordenadas $(t^2,t^3) \mapsto t$ de la curva cuspidal $\{ (t^2,t^3): t \in k \}$ a $k$ tiene una gráfica que es una variedad algebraica, pero no es un mapa regular (no está dado por una función racional en una vecindad del origen). En la característica $p$ la inversa del mapa de Frobenius $x \mapsto x^p$ proporciona otro contraejemplo. De alguna manera la dificultad es que las funciones regulares en $S$ no tiene por qué provenir de un pullback de funciones regulares en $X$ aunque la prueba de la línea vertical sugiere que tales mapas deberían ser de "grado 1" en algún sentido.

Aun así, creo que debería haber alguna afirmación positiva al respecto, aunque no he podido encontrar ninguna tras buscar en unos cuantos textos de geometría algebraica. Por ejemplo, si uno exige que $X, Y, S$ son todas suaves y que el campo tiene la característica cero, ¿se cumple ahora la afirmación? Idealmente, me gustaría tener sólo condiciones sobre las variedades $X,Y,S$ y no en los distintos mapas entre estas variedades; por ejemplo, preferiría no tener que asumir que el mapa de proyección de $S$ a $X$ es finito (aunque quizás esto sea automático).

Answer 1

Podrías estar redescubriendo el Teorema Principal de Zariski, que implica tu afirmación en caso $X$ es normal (o sólo débilmente normal) y la proyección de la gráfica $\Gamma$ a $X$ es propio y separable. Lo que realmente necesitas es el mapa $\Gamma\to X$ para ser un isomorfismo, por lo que la pregunta es equivalente a "¿cuándo un mapa biyectivo es un isomorfismo?

Ya has explicado por qué necesitamos la normalidad (débil) (ejemplo con la curva cuspidal) y la separabilidad (el mapa de Frobenius). Para ver por qué la propiedad también es necesaria, mira el mapa $\mathbb{A}^1\to\mathbb{A}^1$ enviando $x$ a $1/x$ para $x\neq 0$ y enviando $0\to 0$ cuyo gráfico es la unión de $(0,0)$ y una hipérbola $xy=1$ .