límite de la función compuesta principios subyacentes y casos especiales

Question

Actualmente estoy aprendiendo a encontrar el límite de una función compuesta en Khan academy. En la sección de respuestas de una de las preguntas, hay una explicación de cómo funciona la búsqueda del límite de las funciones compuestas

Mi primera pregunta es ¿qué pasa si la función u no es continua en el punto L?

Y también me preguntaba, ¿es

$$lim_{x \to c} u(v(x))$$

lo mismo que

$$ u(lim_{x \to c}v(x))$$

lo mismo que

$$ lim_{x \to c} v(x) = L$$ $$lim_{x \to L} u(x)$$

Answer 1

La condición de continuidad de $u$ es necesario, como muestra lo siguiente:

Definir $ v(x)=x^2 $ para $ x\neq 0$ y $u(x)=1$ si $ x>0$ , $u(x)=0$ si $ x\leq 0$ . Al observar $\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}u\circ v(x)=1$ mientras que $ u(\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}v(x))=0 $ .

Una condición para la igualdad $\displaystyle\lim_{x\rightarrow c}u\circ v(x)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow L}u(x)$ cuando $\displaystyle\lim_{x\rightarrow c}v(x)=L$ (y $\displaystyle\lim_{x\rightarrow L}u(x)$ existe) es que o bien $ u $ es continua en $L$ o hay un $ \delta >0$ s.t. $ \forall x(0<|x-c|<\delta\Rightarrow v(x)\neq L) $ .