Ejemplos del grupo diédrico $D_4$ actuar en los platós

Question

Considere el grupo $D_4$ . Dé ejemplos de $D_4$ actuando en un plató.

Intento: Así que $|D_4| = 8$ . Se me han ocurrido algunas, pero me preguntaba qué pensaban algunos de los presentes. La primera que se nos ocurrió en clase fue $D_4$ actuando sobre el conjunto de vértices de un cuadrado. ¿Estoy en lo cierto al decir $D_4$ actúa sobre este conjunto porque hay ocho simetrías del cuadrado y 8 elementos en $D_4$ . Así, cada elemento corresponde a una simetría.

Creo que puedo extender esto a un octógono, que tiene 8 caras, y así cada elemento puede corresponder a una cara.

Otro que se me ocurrió fue el conjunto de aristas de un cubo. Cada elemento de $D_4$ puede corresponder a una arista.

¿Es correcto mi razonamiento anterior de por qué $D_4$ ¿podría actuar en estos conjuntos? ¿Alguien puede sugerir otros?

Muchas gracias

Answer 1

Para definir una acción de grupo, es necesario:

1) Un grupo $G$ (En tu caso, $G = D_4$ es fijo).

2) Un conjunto $X$ (has dado varias sugerencias, como el conjunto de vértices de un cuadrado).

3) Una regla de multiplicación $G\times X \to X$ que satisface los axiomas de una acción de grupo.

En sus sugerencias, me faltan 3).

Answer 2

¿Estoy en lo cierto al decir $D_4$ actúa sobre este conjunto porque hay ocho simetrías del cuadrado y 8 elementos en $D_4$ . Así, cada elemento corresponde a una simetría.

No, esto no es correcto: hay otros grupos de ocho elementos, por ejemplo el grupo cíclico de orden 8 o el grupo de cuaterniones, que no corresponden a simetrías del cuadrado. Es crucial que haya un emparejamiento de elementos del grupo con simetrías de tal manera que componer con sentido es decir, que la simetría emparejada con $xy$ es la simetría emparejada con $y$ seguido de la simetría emparejada con $x$ .

Para encontrar más acciones de grupo, recuerda que una acción de grupo es fiel cuando el único elemento que no hace nada es la identidad, y en particular las acciones del grupo no necesitan ser fieles, no es necesario que todos los elementos del grupo actúen de forma interesante.

Answer 3

El grupo $D_4$ actúa sobre $ℝ^2$ . Como los miembros son biyecciones de $$ℝ^2→ℝ^2 : x↦ρ^iσ^j :i ∈\{0,1,2,3 \},j∈\{0,1\} $$ donde $ρ$ es la rotación estándar y $σ$ una relección.

Definir la acción del grupo como el mapa $$D_8 ×ℝ^2→ ℝ^2:(ρ^iσ^j,x) ↦ρ^iσ^j.x=ρ^iσ^j(x)$$

Dejemos que $x ∈ℝ^2$ entonces $e.x=e(x)=ρ^0σ^0(x)=x$ .
Y que $g_1,g_2∈D_4$ entonces,
$$g_1.(g_2.x)=g_1.(g_2(x))=g_1( g_2 (x))=g_1 \circ g_2 (x)$$