Grupo de cocientes (grupo de factores)

Question

Demostrar que el grupo cociente $\frac{Z\times Z\times Z}{<(1,1,1)>}$ es un grupo infinito y no cíclico.

Aquí Z es el grupo de enteros con operación de adición, $<(1,1,1)$ > es el subgrupo de $Z\times Z\times Z$ generado por el elemento $(1,1,1)$

EDITAR (1)-

He podido demostrar la infinitud del grupo. Así es como lo he hecho: Observa que < [(1,0,0) + < (1,1,1) >]> es un subgrupo cíclico infinito del grupo dado en la pregunta. por lo tanto el grupo en la pregunta también es infinito.

Sin embargo, estoy atascado en probar la parte no cíclica. Me sale que < [(1,0,0) + < (1,1,1) >] > y < [(0,1,0) + < (1,1) > ] > son dos subgrupos cíclicos, cuya intersección es {e} que es identidad. ¿Puede llevarme a algún sitio?

Answer 1

Yo razonaría así. Un conjunto de representantes para su cociente es $$\{(0,n,m)+\langle(1,1,1)\rangle\ |\ n,m\in\mathbb{Z}\}$$ desde $(a,b,c)+\langle(1,1,1)\rangle=(a-a,b-a,c-a)+\langle(1,1,1)\rangle$ así que $$\frac{\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}}{\langle(1,1,1)\rangle}\cong\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$$

¿Puede mostrar $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ no es cíclico?

(Supongamos que es generado por $(n,m)$ y encontrar una contradicción).