Lo que ha hecho hasta ahora es correcto.
Como has observado, después de distribuir cuatro bolas en cada caja, nos queda 60 - 4 \cdot 4 = 44 bolas para distribuir. Si dejamos que x_i, 1 \leq i \leq 4 representan el número de bolas adicionales que distribuimos al i a la caja, entonces x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 44 \tag{1} La ecuación 1 es una ecuación en los enteros no negativos. Una solución particular de la ecuación 1 corresponde a la colocación de 4 - 1 = 3 signos de adición en una fila de 44 los. El número de estas soluciones es \binom{44 + 4 - 1}{4 - 1} = \binom{47}{3} = \binom{47}{44} ya que debemos elegir qué tres de los 47 puestos necesarios para 44 unos y tres signos de adición se llenarán de signos de adición o, lo que es lo mismo, que 44 Los puestos se cubrirán con unos.
De ellos hay que restar los casos en los que una caja recibe al menos 20 bolas. Como ya se han colocado cuatro bolas en cada caja, eso significa que debemos restar los casos en los que al menos 20 - 4 = 16 las bolas adicionales se colocan en una caja. Como 3 \cdot 16 = 48 > 44 como máximo dos cajas podrían tener al menos 16 bolas adicionales colocadas en ellos.
Hay cuatro maneras de seleccionar una caja que recibirá al menos 16 bolas adicionales. Supongamos que es la primera caja. Entonces x_1' = x_1 - 16 es un número entero no negativo. Sustituyendo x_1' + 16 para x_1 en la ecuación 1 da como resultado \begin{align*} x_1' + 16 + x_2 + x_3 + x_4 & = 44\\ x_1' + x_2 + x_3 + x_4 & = 28 \tag{2} \end{align*} La ecuación 2 es una ecuación en los enteros no negativos con
\binom{28 + 4 - 1}{4 - 1} = \binom{31}{3} = \binom{31}{28}
soluciones. Por lo tanto, hay
\binom{4}{1}\binom{31}{3}
soluciones en las que al menos 16 Las bolas adicionales se colocan en una de las cajas.
Sin embargo, si restamos esta cantidad del total, habremos restado demasiado ya que habremos restado cada caso en el que dos cajas contengan al menos 20 bolas dos veces, una para cada forma podríamos haber designado una de las cajas como la caja que recibe al menos 16 bolas adicionales. Sólo queremos restar estos casos una vez, por lo que debemos volver a sumarlos.
Elija qué dos de las cuatro casillas reciben al menos 16 bolas adicionales. Supongamos que son las cajas 1 y 2. Sea x_1' = x_1 - 16 ; dejar que x_2' = x_2 - 16 . Entonces x_1' y x_2' son enteros no negativos. Sustituyendo x_1' + 16 para x_1 y x_2' + 16 para x_2 en la ecuación 1 da como resultado \begin{align*} x_1' + 16 + x_2' + 16 + x_3 + x_4 & = 44\\ x_1' + x_2' + x_3 + x_4 & = 12 \tag{3} \end{align*} La ecuación 3 es una ecuación en los enteros no negativos con
\binom{12 + 4 - 1}{4 - 1} = \binom{15}{3} = \binom{15}{12}
soluciones. Por lo tanto, hay
\binom{4}{2}\binom{15}{3}
soluciones en las que al menos 16 Se colocan bolas adicionales en dos de las cajas.
Por el Principio de inclusión-exclusión el número de distribuciones de 60 bolas indistinguibles a cuatro cajas en las que cada caja recibe al menos cuatro bolas y ninguna caja recibe al menos 20 bolas es
\binom{47}{3} - \binom{4}{1}\binom{31}{3} + \binom{4}{2}\binom{16}{3}
