Lo que ha hecho hasta ahora es correcto.
Como has observado, después de distribuir cuatro bolas en cada caja, nos queda $60 - 4 \cdot 4 = 44$ bolas para distribuir. Si dejamos que $x_i, 1 \leq i \leq 4$ representan el número de bolas adicionales que distribuimos al $i$ a la caja, entonces $$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 44 \tag{1}$$ La ecuación 1 es una ecuación en los enteros no negativos. Una solución particular de la ecuación 1 corresponde a la colocación de $4 - 1 = 3$ signos de adición en una fila de $44$ los. El número de estas soluciones es $$\binom{44 + 4 - 1}{4 - 1} = \binom{47}{3} = \binom{47}{44}$$ ya que debemos elegir qué tres de los $47$ puestos necesarios para $44$ unos y tres signos de adición se llenarán de signos de adición o, lo que es lo mismo, que $44$ Los puestos se cubrirán con unos.
De ellos hay que restar los casos en los que una caja recibe al menos $20$ bolas. Como ya se han colocado cuatro bolas en cada caja, eso significa que debemos restar los casos en los que al menos $20 - 4 = 16$ las bolas adicionales se colocan en una caja. Como $3 \cdot 16 = 48 > 44$ como máximo dos cajas podrían tener al menos $16$ bolas adicionales colocadas en ellos.
Hay cuatro maneras de seleccionar una caja que recibirá al menos $16$ bolas adicionales. Supongamos que es la primera caja. Entonces $x_1' = x_1 - 16$ es un número entero no negativo. Sustituyendo $x_1' + 16$ para $x_1$ en la ecuación 1 da como resultado \begin{align*} x_1' + 16 + x_2 + x_3 + x_4 & = 44\\ x_1' + x_2 + x_3 + x_4 & = 28 \tag{2} \end{align*} La ecuación 2 es una ecuación en los enteros no negativos con
$$\binom{28 + 4 - 1}{4 - 1} = \binom{31}{3} = \binom{31}{28}$$
soluciones. Por lo tanto, hay
$$\binom{4}{1}\binom{31}{3}$$
soluciones en las que al menos $16$ Las bolas adicionales se colocan en una de las cajas.
Sin embargo, si restamos esta cantidad del total, habremos restado demasiado ya que habremos restado cada caso en el que dos cajas contengan al menos $20$ bolas dos veces, una para cada forma podríamos haber designado una de las cajas como la caja que recibe al menos $16$ bolas adicionales. Sólo queremos restar estos casos una vez, por lo que debemos volver a sumarlos.
Elija qué dos de las cuatro casillas reciben al menos $16$ bolas adicionales. Supongamos que son las cajas 1 y 2. Sea $x_1' = x_1 - 16$ ; dejar que $x_2' = x_2 - 16$ . Entonces $x_1'$ y $x_2'$ son enteros no negativos. Sustituyendo $x_1' + 16$ para $x_1$ y $x_2' + 16$ para $x_2$ en la ecuación 1 da como resultado \begin{align*} x_1' + 16 + x_2' + 16 + x_3 + x_4 & = 44\\ x_1' + x_2' + x_3 + x_4 & = 12 \tag{3} \end{align*} La ecuación 3 es una ecuación en los enteros no negativos con
$$\binom{12 + 4 - 1}{4 - 1} = \binom{15}{3} = \binom{15}{12}$$
soluciones. Por lo tanto, hay
$$\binom{4}{2}\binom{15}{3}$$
soluciones en las que al menos $16$ Se colocan bolas adicionales en dos de las cajas.
Por el Principio de inclusión-exclusión el número de distribuciones de $60$ bolas indistinguibles a cuatro cajas en las que cada caja recibe al menos cuatro bolas y ninguna caja recibe al menos $20$ bolas es
$$\binom{47}{3} - \binom{4}{1}\binom{31}{3} + \binom{4}{2}\binom{16}{3}$$
