Funciones racionales con un iterado común

Question

Dejemos que $f$ y $g$ sean dos funciones racionales. Para evitar trivialidades, suponemos que sus grados son al menos $2$ . Decimos que tienen un iterado común si $f^m=g^n$ para algunos enteros positivos $m,n$ , donde $f^m$ representa el $m$ -ésima iteración.

1. ¿Se pueden describir/clasificar todos estos pares?

Esto es probablemente muy difícil, y quizás no exista una respuesta sencilla. Pero he aquí una pregunta más sencilla:

2. ¿Existe un algoritmo que averigüe si dos funciones racionales tienen un iterado común o no?

Es decir, te doy dos funciones racionales, digamos con coeficientes enteros, y me dices si tienen un iterado común o no. Tal vez usando una supercomputadora...

Motivación. J. F. Ritt, (Funciones racionales permutables. Trans. Amer. Math. Soc. 25 (1923), no. 3, 399-448) dio una clasificación/descripción completa de todos los pares conmutativos de funciones racionales (es decir $f(g)=g(f)$ )... excepto cuando tienen un iterado común. He dado una prueba completamente diferente del teorema de Ritt, pero de nuevo no se aplica al caso en que $f$ y $g$ tienen en común iterar (MR1027462).

Los pares de polinomios (conmutados, o con un iterado común) son completamente descritos en MR1501149 Ritt, J. F. Sobre la iteración de funciones racionales. Trans. Amer. Math. Soc. 21 (1920), no. 3, 348-356, en el mismo final de este trabajo.

¿Cuál es la relación exacta entre los pares permutables y los pares con un iterado común?

3. Si dos funciones tienen un iterado común, ¿deben conmutar?

¿O tal vez deban hacerlo, pero con excepciones explícitas? Una respuesta positiva a esto resolverá el problema 2 anterior. Véase también mi "respuesta" a sobre puntos fijos comunes de polinomios conmutables (y funciones racionales) para una motivación adicional.

EDITAR. Y una pregunta más:

4. ¿Se pueden describir funciones conmutativas que tengan un iterado común?

Esto completaría la descripción de Ritt de las funciones de desplazamiento.

Answer 1

En ${\bf C}$ Un contraejemplo fácil a la pregunta 3 es $f(x) = x^2$ , $g(x) = cx^2$ donde $c$ es una raíz cúbica no trivial de la unidad. Entonces $f(f(x)) = g(g(x)) = x^4$ pero $f$ y $g$ no se desplazan. Hay ejemplos similares para iterados superiores.

[Añadido más tarde] Una construcción más exótica da más ejemplos, algunos definidos sobre ${\bf Q}$ como el par de grado 4 $$ f(y) = \frac{y^4+18y^2-47}{8y^3}, \phantom{\infty} g(y) = \frac{f-3}{f+1} = \frac{y^4-24y^3+18y^2-27}{y^4+8y^3+18y^2-27} $$ con $f \circ f = g \circ g$ pero $f \circ g \neq g \circ f$ . Se trata de un "mapa de Lattès" asociado a la curva elíptica $E: y^2 = x^3 + 1$ la función $f$ proviene del mapa de duplicación $P \mapsto 2P$ y $g$ viene de $P \mapsto 2P+T$ donde $T$ es el punto de torsión 3 $(0,1)$ (como el $(f,g)=(x^2,cx^2)$ ejemplo lo hace en el grupo multiplicativo). Esta curva elíptica produce ejemplos de $f \circ f = g \circ g$ y $f \circ g \neq g \circ f$ con cualquier grado $m^2+mn+n^2$ siempre que no sea un múltiplo de 3, con $f,g \in {\bf Q}(y)$ si $n=0$ . Otras curvas elípticas con complejos con multiplicación compleja, se obtienen otros ejemplos utilizando la $x$ -coordenadas en lugar de la $y$ -coordenadas, por ejemplo $f(x) = -x(x^4+6x^2-3)^2 / (3x^4-6x^2-1)^2$ y $g = (f-1)/(f+1)$ de triplicar en $y^2=x^3-x$ .

Answer 2

Sustituyo mi anterior respuesta incorrecta por ésta. Acabo de enterarme de un preimpreso reciente de Hexi Ye,

http://arxiv.org/pdf/1211.4303.pdf

Entre otras cosas, demuestra, para general $f$ con grado $d \geq 3$ que $\mu_f=\mu_g$ implica que $f$ y $g$ comparten un iterado (la inversa es bien conocida). El símbolo $\mu_f$ denota el único $f$ -medida invariante de entropía máxima para $f$ (y de forma similar para $g$ ). También analiza los mapas genéricos de grado $2$ . La prueba implica algunos mapas holomorfos de $t \in \mathbb{C}$ a $f_t \in \rm{Rat}_d$ el conjunto de funciones racionales de grado $d$ (no los semigrupos, que tú señalas como imposibles). Por lo que veo a primera vista, no parece abordar la cuestión de la conmutatividad.

Answer 3

En cuanto a la segunda pregunta, el algoritmo es el siguiente:

1. Encontrar los flujos (superfunciones) de las dos funciones en forma cerrada

2. Comprueba si coinciden en puntos enteros.

Por ejemplo, $f(x)=x^2$ , $g(x)=x^4$ .

Los flujos serán respectivamente, $C^{2^x}$ , $C^{4^x}$ .

Ahora resolvemos

$$C^{2^x} = C^{4^y}$$

y encontrar $y=x/2$

Esta ecuación tiene obviamente infinitas soluciones enteras.

Un caso más complicado es cuando $f(x)=\frac{x+1}{x-1}$ , $g(x)=\frac{x-1}{x+1}$

En este caso los flujos son:

$$f^*(x)=\frac{C \cos \left(\frac{3 \pi x}{4}\right)+\sin \left(\frac{3 \pi x}{4}\right)}{\cos \left(\frac{3 \pi x}{4}\right)-C \sin \left(\frac{3 \pi x}{4}\right)}$$

$$g^*(x)=\frac{\left(\left(\sqrt{2}-1\right) C-1\right) (-1)^x+\sqrt{2} C+C+1}{\left(-C+\sqrt{2}+1\right) (-1)^x+C+\sqrt{2}-1}$$

Resolviendo la ecuación f*(x) = g*(y) para los enteros x e y se obtiene $x=4m, y=n$