Lo que es posible a partir de estas elecciones, hay una incrustación elemental (no trivial) $$j:V\to L$$ o Existe una incrustación elemental $$j:L\to V$$
y la segunda parte de mi pregunta es a qué equivale esta condición consistente.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Ninguna de las dos opciones es posible .
El punto clave es que "ser $L$ " es expresable de primer orden: ya que $L\models$ $\mathsf{V=L}$ si existe una incrustación elemental o bien camino entre $V$ y $L$ debemos tener $V\models\mathsf{V=L}$ y así $V=L$ . Pero por el Incongruencia de Kunen no existe una incrustación elemental de $V$ a sí mismo.
Un par de comentarios:
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Re: $V$ , $L$ y $\mathsf{V=L}$ arriba, no se trata de una errata: reservo el tipo de letra "mathsf" para los axiomas y las teorías, y las letras romanas normales en cursiva para los objetos.
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Invocar a Kunen aquí es exagerado: se puede demostrar más elementalmente de $\mathsf{ZFC+V=L}$ que no existe una incrustación elemental (no trivial) $L\rightarrow L$ (mientras que por otro lado, la existencia de una incrustación elemental $L\rightarrow L$ se desprende de un cardinal medible o, de hecho, mucho menos) . Sin embargo, creo que introducir a Kunen en este caso es útil, ya que presenta un tema más ineludible.
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La incoherencia de Kunen requiere una elección (según nuestros conocimientos actuales), por lo que se podría esperar evitar el argumento anterior si nos limitamos a suponer $\mathsf{ZF}$ . Pero recuerda que en realidad $\mathsf{ZF}\vdash (L\models \mathsf{AC+V=L})$ así que esto no ayuda.
