Si $\{x\}:=x-\lfloor x\rfloor$ Entonces, ¿son los mismos? $\{l+m\}$ , $\left\{l+\{m\}\right\}$ , $\left\{\left\{l\right\}+\{m\}\right\}$

Question

Actualmente estoy trabajando en un proyecto de procesamiento de señales y me encuentro con este problema en particular:

Definir $\{x\} := x - \lfloor x\rfloor$ y considerar $$y_1 = \{l+m\}$$ $$y_2=\left\{l+\{m\}\right\}$$ $$y_3=\left\{\left\{l\right\}+\{m\}\right\}$$ Son $y_1$ , $y_2$ y $y_3$ ¿Igual?

Mi intuición es que todos son iguales, ya que

\begin{align} \exp\left(2\pi j l\right) &= \exp\left(2\pi j\{l\}\right)\\ \exp\left(2\pi j m\right) &= \exp\left(2\pi j\{m\}\right)\\ \exp\left(2\pi j l\right)\exp\left(2\pi j m\right) &= \exp\left(2\pi j\{l\}\right)\exp\left(2\pi j\{m\}\right)\\ &=\exp\left(2\pi j(\{l\}+\{m\})\right)\\ &=\exp\left(2\pi j\{\{l\}+\{m\}\}\right)\\ \exp\left(2\pi j l\right)\exp\left(2\pi j m\right) &=\exp\left(2\pi j (l+m)\right) \\ &=\exp\left(2\pi j \{l+m\}\right) \\ \exp\left(2\pi j l\right)\exp\left(2\pi j m\right) &=\exp\left(2\pi j l\right)\exp\left(2\pi j \{m\}\right)\\ &=\exp\left(2\pi j (l+\{m\})\right) \\ &=\exp\left(2\pi j \{l+\{m\}\}\right) \end{align}

Agradecería mucho cualquier ayuda para verificar la prueba.

Answer 1

Aunque sus cálculos con la exponencial pueden ayudarle a construir alguna intuición (particularmente en el contexto del procesamiento de señales), si realmente quiere determinar si las expresiones son o no equivalentes, entonces necesita trabajar con la definición de la parte fraccionaria, más que con ejemplos. Los ejemplos construyen la intuición, pero no dan pruebas. En general, cuando no sepas qué más hacer, escribe la definición y mira a ver a dónde te lleva.

Gabe ha proporcionado estos cálculos, pero los reiteraré (con algún comentario adicional) para que esta respuesta siga siendo autocontenida. Las dos ideas clave son las siguientes

1. $\{ x + m \} = \{ x \}$ para cualquier número entero $m$ y cualquier $x\in\mathbb{R}$ (esto, realmente, es la observación más importante-nos permite poner enteros en llaves y sacarlos de nuevo a voluntad), y
2. $x = \lfloor x \rfloor + \{ x \}$ para cualquier $x\in\mathbb{R}$ (por manipulación algebraica de la definición de $\{x\}$ ).

Empezando por la primera expresión \begin{align} y_1 &= \{ l + m \} \\ &= \left\{ \left( \lfloor l \rfloor + \{l\} \right) + \left( \lfloor m \rfloor + \{m\} \right) \right\} && \text{by (2), applied to $l$ and $m$} \\ &= \left\{ \left( \lfloor l \rfloor + \lfloor m \rfloor \right) + \left( \{l\} + \{m\} \right) \right\} && \text{addition is commutative} \\ &= \left\{ \{ l \} + \{ m \} \right\} && \text{by (1), since $\lfloor l \rfloor + \lfloor m \rfloor$ is an integer} \\ &= y_3. \end{align} Por un cálculo similar, \begin{align} y_2 &= \left\{ l + \{m\} \right\} \\ &= \left\{ \left( \lfloor l \rfloor + \{ l \} \right) + \{m\} \right\} && \text{by (2), applied to $l$} \\ &= \left\{ \{l\} + \{m\} \right\} && \text{by (1), since $\lfloor l\rfloor$ is an integer} \\ &= y_3. \end{align} Por lo tanto, $y_1 = y_2 = y_3$ que nos da el resultado deseado.

Answer 2

$y_1 = \{l+m\} = \{\lfloor l \rfloor\ + \{l\} + \lfloor m \rfloor\ + \{m\}\} = \{\{l\} + \{m\}\}$

$y_2 = \{l+\{m\}\} = \{\{l\} + \lfloor m \rfloor\ + \{m\}\} = \{\{l\} + \{m\}\}$

$y_3 = \{\{l\} + \{m\}\}$

Así que sí, son lo mismo.

Answer 3

Considere $l = n_1+f_1$ y $m=n_2+f_2$ , donde $n_1, n_2$ son números enteros y $f_1, f_2$ son las partes fraccionarias. Tenemos entonces que $$y_1=\{n_1+n_2+f_1+f_2\} = \{f_1+f_2\}$$ $$y_2 = \{ n_1+f_1+f_2\} = \{ f_1+f_2\}$$ $$y_3 = \{ f_1+f_2\}$$

Por lo tanto, todos son iguales a $\{f_1+f_2\}$