para encontrar la probabilidad del problema dado o

Question

He resuelto esta pregunta así, pero todavía hay dudas en mi mente en la parte donde se menciona Londres. tomemos primero la misma probabilidad de que la carta pueda ser de Londres o de Washington

ahora, dejemos $p(E)$ representan la probabilidad de que on sea la única palabra legible entonces tenemos $p(E)= 0.5*p(E_1)+0.5*p(E_2)$

donde $p(E_1)$ representa la probabilidad de que la única palabra en la que es legible

así que cómo calcular esto $p(E_1)$ y $p(E_2)$ .

¿O es que mi enfoque es erróneo?

Answer 1

Este problema está muy poco especificado: hay que hacer muchas suposiciones para obtener una respuesta, y diferentes suposiciones producen diferentes respuestas.

La primera cuestión es la probabilidad previa. En ausencia de cualquier otra información, $P(L)=P(W)=1/2$ podría ser una prioridad razonable (aunque la población de Londres es significativamente mayor que la de Washington, así que quizás no).

A continuación, ¿cómo se supone que vamos a modelar qué letras son visibles (incluso asumiendo que en cada caso el matasellos consistirá precisamente en el nombre de la ciudad)? Si cada letra es visible de forma independiente con cierta probabilidad $p$ , bueno, dependerá de $p$ qué respuesta obtenemos, y por ejemplo $p=1/2$ gran parte de la razón por la que Washington es improbable es simplemente porque tiene más letras, por lo que es improbable que tan pocas sigan siendo visibles. O podríamos asumir que siempre hay dos letras consecutivas visibles, siendo cada posibilidad igualmente probable. O podríamos asumir que una sección contigua al azar de la palabra es visible.

Una vez que hemos adivinado qué probabilidades asignar a ON siendo todo lo que se ve en cada caso, entonces la solución es $$P(L\mid E)=\frac{P(E\mid L)P(L)}{P(E\mid L)P(L)+P(E\mid W)P(W)},$$ donde $L$ es el evento que vino de Londres y $E$ que sólo ON es visible. En el caso de que dos letras consecutivas, con la misma probabilidad de ser cualquiera de los pares consecutivos, sean siempre visibles, por ejemplo, tendríamos $P(E\mid L)=2/5$ ya que del $5$ pares consecutivos, $2$ son ON y $P(E\mid W)=1/9$ . (Esto da una respuesta de $18/23$ .)

Answer 2

Este problema no puede resolverse sin más supuestos. Tal suposición es que el correo ha venido de Londres es $\frac12.$ Otra suposición es que las letras de la palabra del sello se borran al azar, de forma independiente y la probabilidad de que una letra se borre es $\frac12$ de nuevo.

¿Cuál es la probabilidad entonces de que dado WASHINGTON las letras restantes sean ON? Hay $10$ letras aquí y la única posibilidad es que la primera $8$ Las letras se borran y quedan las dos últimas. La probabilidad es $$P(ON\mid WASHINGTON)=\frac 1{2^{10}}=\frac1{1024}.$$ En el caso de LONDRES hay dos posibilidades y el número de letras es sólo $6$ . Así que la probabilidad condicional buscada es $$P(ON\mid LONDON)=\frac2{2^6}=\frac1{2^5}.$$

La probabilidad de que el correo provenga de Londres siempre que las letras del sobre sean

$$P(LONDON\mid ON)=\frac{P(ON\cap LONDON)}{P(ON)}=\frac{P(ON\mid LONDON)\frac12}{P(ON)}=\frac1{2^6}\frac1{P(ON)}$$

donde

$$P(ON)=P(ON\mid LONDON)\frac12+P(ON\mid WHASHINGTON)\frac12=$$ $$=\frac{\frac1{2^6}}{\frac1{2^6}+\frac1{2^{11}}}=\frac{2^5}{1+2^5}\approx 0.97.$$

Mientras que $$P(WASHINGTON\mid ON)=\frac{2^6}{2^6+2^{11}}\approx 0.03.$$

Answer 3

Se puede leer "ON" tres veces (2 de ellas pertenecientes a Londres, y la otra a Washington).

Por tanto, la probabilidad de ser de Londres es de 2/3.