Cómo convertir una función discreta en una función continua

Question

Me preguntaba por esto: Truco para saber si un número es compuesto o primo

¿Existe algún método formal para convertir una función discreta en una función continua? Por ejemplo, tomemos $n!$ ¿Cómo se descubrió la función gamma? ¿Existe un procedimiento general para obtener la función continua (que imita una función discreta)?

Answer 1

En general, hay muchas formas de ampliar una función $f:\mathbb{Z}\to\mathbb{R}$ de tal manera que $g$ es una función continua y $g_{|\mathbb{Z}}\equiv f$ . Para el $\Gamma$ la unicidad de la extensión se desprende de la exigencia de que para cualquier $z\in\mathbb{R}^+$ , $g(z+1)=z\, g(z)$ (la misma identidad funcional satisfecha por $f$ en $\mathbb{N}$ ) y $\log g$ es una función convexa: véase el Teorema de Bohr-Mollerup .

Answer 2

Dependiendo de cómo se defina la función discreta, puede haber formas sencillas de extenderla a una función continua en $\mathbb R$ Por ejemplo, si $f: \mathbb N\to\mathbb R$ se define como la constante $65$ es bastante obvio considerar la función que es constante $65$ en $\mathbb R$ como una extensión, pero $65\sin(\pi x)$ también es una opción.

En algunos casos la función tiene otras propiedades que nos ayudan a elegir, pero las diferentes propiedades también significan que no hay una forma general de encontrar una extensión valiosa.

Si la función satisface una ecuación funcional como $n! = n(n-1)!$ que a veces se puede utilizar como punto de partida para encontrar algunas funciones que tiene coincide con la función discreta.