TL;DR: He hecho que algo funcione (otra vez) pero en el proceso he utilizado algo que no tiene sentido - me pregunto por qué todo funciona al final. Por favor, explíquemelo o refute mis conclusiones.
Definamos un operador $\circledast$ de esta manera: $x \circledast y = \frac{x+y}{1+xy}$
Quiero encontrar $((2\circledast3)\circledast4)\circledast...\circledast n, n \ge 3$
Mi enfoque
Lo primero que hay que notar es que: $(x \circledast y) \circledast z = x \circledast (y \circledast z)$ para que no haya ninguna diferencia en el orden en que lo aplicamos y para que podamos eliminar todos los paréntesis y leerlo como, por ejemplo, "de izquierda a derecha".
Recordando que $tanh(x+y)=\frac{tanhx+tanhy}{1+tanhx\cdot tanhy}$ podemos ver que $tanh(tanh^{-1}x+tanh^{-1}y)=\frac{x+y}{1+xy} = x \circledast y$ . Por lo tanto, podemos reescribir la expresión que queremos como $S = tanh(tanh^{-1}2+tanh^{-1}3+...+tanh^{-1}n)$ Así que $$tanh^{-1}S = \sum_{k=2}^ntanh^{-1}k$$
"Hasta aquí todo bien" - Habría dicho, pero la cuestión es que la tangente hiperbólica inversa sólo tiene dominio $(-1, 1)$ sobre los reales. Pero - vamos a rodar con él, el "por qué funciona" es parte de la cuestión.
A partir de aquí utilizamos el forma logarítmica : $tanh^{-1}x=\frac{1}{2}ln\frac{1+x}{1-x}$ - de nuevo, ignorando los problemas evidentes del dominio. Lo conseguimos: $$\frac{1}{2}ln\left(\frac{1+S}{1-S}\right) = \frac{1}{2}\sum_{k=2}^nln\left(\frac{1+k}{1-k}\right)=\frac{1}{2}ln\left(\prod_{k=2}^n\frac{1+k}{1-k}\right)$$
Aquí hay otra "bandera roja" - usar la propiedad del logaritmo de la suma al producto en algo que potencialmente no existe - o incluso si existe, es complejo, y si entiendo correctamente, la versión compleja de $ln$ es $Log$ que es multivalente, por lo que no es correcto afirmar $ln(ab)=ln(a)+ln(b)$ .
Por último, observamos que si le damos la vuelta al signo del denominador acabaremos con un producto telescópico sobre la fracción desplazada por 2 en el numerador hacia la derecha. Por lo tanto, terminamos con esto: $$\frac{1}{2}ln\left(\frac{1+S}{1-S}\right) = \frac{1}{2}ln\left(\prod_{k=2}^n\frac{1+k}{1-k}\right) = \frac{1}{2}ln\left((-1)^{n-1}\frac{n(n+1)}{2}\right)$$
Tenemos $(-1)^{n-1}$ porque habrá en total $n-1$ miembros (empezamos en $2$ y terminan en $n$ ). Y ahora lo has adivinado. Tenemos $\frac{1}{2}$ en ambos lados, tenemos $ln$ en ambos lados - vamos a "cancelarlos" (otra "bandera roja" aquí). Si lo hacemos, terminamos con $\frac{1+S}{1-S}=(-1)^{n-1}\frac{n(n+1)}{2}$ así $$S=\frac{(-1)^{n-1}(n^2+n)-2}{(-1)^{n-1}(n^2+n)+2}$$
que no sólo está bien definida, sino que además es una expresión correcta para $S$ (funciona para cualquier $n$ )
La pregunta es - ¿por qué funciona a pesar de operar sobre cosas que no están bien definidas? O estoy equivocado y el $tanh^{-1}x$ está bien definida fuera de $(-1,1)$ ? (así como $ln$ y sus propiedades sobre los números complejos)?
EDITAR : Hay una propuesta arreglar a la solución, por cortesía de @Tortar . Tiene una gran observación que $x \circledast y = \frac{1}{x} \circledast \frac{1}{y}$ y por lo tanto podemos evitar problemas de dominio si reescribimos $S = \frac{1}{2} \circledast \frac{1}{3} \circledast ... \circledast \frac{1}{n}$ . Esto, sin embargo, todavía tiene problemas
- En primer lugar, no explica por qué el original "solución" funciona. Todo tiene sentido si aplicara esta transformación antes de usar $tanh^{-1}$ pero yo no, de ahí que la pregunta siga en pie
- Y lo que es más importante, y por eso he decidido añadirlo al cuerpo de la pregunta, esto conducirá a un resultado incorrecto. Esto es porque en el paso de los logaritmos obtendremos todos los $ln\left(\frac{1+\frac{1}{k}}{1-\frac{1}{k}}\right) = ln\left(\frac{k+1}{k-1}\right)$ lo que significa que cuando combinemos las fracciones y eliminemos los términos repetidos acabaremos perdiendo $(-1)^{n-1}$ ya que no hay nada que negar. Esto nos llevará a la expresión final de $S$ siendo inválido para todos incluso $n$ . Por lo tanto, aunque esta relación establece un vínculo entre la forma "incorrecta" de hacerlo y la forma "segura" de hacerlo, parece que no es tan sencillo como sustituir $n$ con $\frac{1}{n}$ y algo sigue fallando.
