¿Cómo se define una conexión en el haz dual?

Question

Estoy leyendo el blog de Terence Tao y dice

Una vez que se tiene una conexión en un paquete $V$ , se puede automáticamente definir una conexión en el haz dual $V^*$ .

¿Alguien puede decirme cómo?

Answer 1

Supongo que se refiere a las conexiones lineales ("derivadas covariantes").

Supongamos que $V$ es un haz vectorial sobre $M$ . La conexión dual se define de forma única exigiendo que satisfaga la regla del producto con respecto al emparejamiento natural entre $V$ y $V^*$ . Sea $\xi \in \Gamma(V)$ y $\varphi \in \Gamma(V^*)$ y denotar por $$ \left< \varphi, \xi \right> = \varphi(\xi ) \in C^\infty(M) $$ el emparejamiento natural entre los haces. Es decir, en cada punto $p \in M$ se aplica la función $\varphi_p$ al vector $\xi_p$ para obtener un número $\varphi_p(\xi_p)=(\varphi(\xi))(p)$ . Entonces, la conexión dual satisface la regla del "producto" $$ \nabla_X \left< \varphi, \xi \right> = X \left< \varphi, \xi \right> = \left< \nabla_X \varphi, \xi \right> + \left< \varphi, \nabla_X \xi \right> $$ para todos $X \in \Gamma(TM)$ .