A4 no tiene ningún subgrupo de orden 6

Question

¿Puede un amable algebraísta ofrecer una mejora a este bosquejo de una prueba?

Muestra que $A_4$ no tiene ningún subgrupo de orden 6.

Nota, $|A_4|= 4!/2 =12$ .
Supongamos que $A_4>H, |H|=6$ .
Luego $|A_4/H| = [A_4:H]=2$ .
Así que $H \vartriangleleft A_4$ así que considera el homomorfismo
$ \pi : A_4 \rightarrow A_4/H$
deja $x \in A_4$ con $|x|=3$ (es decir, en un ciclo de 3)
luego 3 divisiones $| \pi (x)|$
para que $|A_4/H|=2$ tenemos $| \pi (x)|$ divide 2
así que $ \pi (x) = e_H$ así que $x \in H$
así que $H$ contiene todos los 3 ciclos
pero $A_4$ tiene $8$ $3$ -ciclos
$8>6$ , $A_4$ no tiene ningún subgrupo de orden 6.

Answer 1

Basado en reflexiones, $A_4$ es isométrico al grupo de rotación del tetraedro. El tetraedro tiene 4 vértices, por lo tanto 4 subgrupos de orden 3. También hay 3 pares de aristas no adyacentes. Así que 3 subgrupos de orden 2. Con esto se agotan los 12 elementos del grupo.