Si $φ:\mathbb R^d→ℂ∖\{0\}$ es continua y $\varphi(0)=1$ entonces hay un único continuo $f:\mathbb R^d→ℂ$ con $f(0)=0$ y $\varphi=e^f$

Question

Hace mucho tiempo que no pienso en el análisis complejo, así que por favor, tened paciencia, si esta es una pregunta bastante trivial.

He leído que si $\varphi:\mathbb R^d\to\mathbb C\setminus\{0\}$ es continua y $\varphi(0)=1$ entonces hay un único continuo $f:\mathbb R^d\to\mathbb C$ con $f(0)=0$ y $\varphi=e^f$ . ¿Cómo podemos demostrarlo?

Recuerdo vagamente las ramas del logaritmo complejo del análisis complejo, pero no sé si este concepto es necesario aquí.

Answer 1

Desde $\mathbb{R}^d$ es simplemente conectado, basta con observar que $(\mathbb{C},e^z)$ es un recubrimiento (en realidad el recubrimiento universal) de $\mathbb{C}-\{0\}$ . Una vez hecho esto, el resultado se desprende de la lema de elevación .

Sin embargo, no es necesario para demostrar la unicidad: basta con observar que, dadas dos funciones diferentes $f_1,f_2$ tal que $\varphi=e^{f_1}=e^{f_2}; f_1(0)=f_2(0)=0$ entonces $f_1-f_2\in 2\pi i\mathbb{Z}$ que es discreto, y como $f_1-f_2$ es continua en $\mathbb{R}^d$ (conectado) debe ser constante y por lo tanto $0$