Ejercicio sobre la distancia entre un punto dado y el núcleo de una determinada función lineal

Question

Dejemos que $\mathcal{X} =\{ x \in \mathbb{R}^\mathbb{N} : \lim x_n = 0\}$ con la norma sup, y $f: \mathcal{X} \to \mathbb{R}$ sea una función lineal definida por $f(x) = \sum_{k = 1}^\infty 2^{-k+1}x_k$ . La función es continua, con norma $||f|| \leq 2$ .

Considere $\alpha \in \mathcal{X} \setminus \ker(f)$ . Demostrar que no hay un punto $x \in \ker(f)$ tal que $||x - \alpha|| = dist(\alpha, \ker(f))$ . Intenté usar el hecho de que $dist(\alpha, \ker(f)) = \frac{|f(\alpha)|}{||f||}$ - pero en vano.

¿Puede alguien ayudarme?

Answer 1

Si hubiera algo así $x$ entonces $\lVert x - \alpha\rVert = \frac{\lVert f(\alpha)\rVert}{\lVert f\rVert}$ . Tendríamos:

$$\begin{align} \lVert f(\alpha)\rVert &= \lVert f(x - \alpha)\rVert \\&\leqslant \lVert f\rVert \lVert x - \alpha\rVert = \lVert f(\alpha)\rVert \end{align}$$

En otras palabras, $\lVert f\rVert = \frac{\lVert f(x - \alpha)\rVert}{\lVert x - \alpha\rVert}$ por lo que se alcanza la norma del operador.

Una pista: ¿Es posible para este operador?

Súper pista:

Recuerda que $\lVert f \rVert = \sup\{ \lVert f(v)\rVert\,;\, \lVert v \rVert = 1\}$ y considerar la secuencia $v = (1,1,1,\dots)$ . No reside en $\mathcal X$ pero se puede aproximar mediante elementos de $\mathcal X$ . ¿Puede cualquier $x\in \mathcal X$ hacer tan bien como $v$ con respecto a la consecución de $\lVert f\rVert$ ?