Primero normalizar la situación. Puesto que la estructura de la automorphism grupo se conserva bajo biholomorphisms, podemos hacer un mapa de $\Omega$$\Omega' = \mathbb{C}\setminus \{0,1,c'\}$$z\mapsto \frac{z-a}{b-a}$.
Ahora considera la situación desde el punto de vista de la esfera de Riemann, $\Omega' = \widehat{\mathbb{C}} \setminus \{0,1,c',\infty\}$.
Cada uno de los cuatro puntos es una singularidad removible de $f\in \operatorname{Aut}(\Omega')$ cuando se considera como un holomorphic mapa a la esfera, por lo $f$ se extiende a un automorphism de la esfera. Por lo tanto
$$\operatorname{Aut}(\Omega') = \left\{f\in \operatorname{Aut}(\widehat{\mathbb{C}}) : f(\{0,1,c',\infty\}) = \{0,1,c',\infty\}\right\},$$
y vemos que $\operatorname{Aut}(\Omega')$ puede ser considerado como un subgrupo de $S_4$.
Ahora investigar lo que las restricciones en la ubicación de $c'$ impone en las permutaciones de los cuatro puntos que surgen de automorfismos de la esfera.
Siempre tenemos los cuatro automorfismos
$$T_1 \colon z \mapsto z;\quad T_2\colon z \mapsto \frac{c'}{z};\quad T_3\colon z\mapsto \frac{z-c'}{z-1};\quad T_4\colon z \mapsto c'\frac{z-1}{z-c'}$$
de $\Omega'$. Los tres no-identidad automorfismos entre ellos el intercambio de los cuatro puntos en pares, y cada punto en $\{0,1,c',\infty\}$ se asigna a $c'$ por uno de estos cuatro.
Por lo tanto, si $f$ es cualquier automorphism de $\Omega'$, $T_i\circ f$ es un automorphism de $\Omega'$ que deja a $c'$ fijo durante exactamente un $i\in \{1,2,3,4\}$. Así que basta ver que las transformaciones de Möbius permuting $\{0,1,\infty\}$ ha $c'$ como un punto fijo. Ignorando la identidad, tenemos
$z \mapsto \frac{1}{z}$, que se intercambia $0$ $\infty$ y tiene los puntos fijos $1$$-1$, por lo que es un automorphism de $\Omega'$ si y sólo si $c' = -1$;
$z \mapsto 1-z$, que se intercambia $0$ $1$ y tiene los puntos fijos $\infty$$\frac{1}{2}$, por lo que es un automorphism de $\Omega'$ si y sólo si $c' = \frac{1}{2}$;
$z\mapsto \frac{z}{z-1}$, que se intercambia $1$ $\infty$ y tiene los puntos fijos $0$$2$, por lo que es un automorphism de $\Omega'$ si y sólo si $c' = 2$;
$z\mapsto \frac{1}{1-z}$, que cíclicamente permutes $0 \mapsto 1 \mapsto \infty \mapsto 0$, y su inverso $z \mapsto 1 - \frac{1}{z}$, que tiene los puntos fijos $e^{\pm \pi i/3}$, por lo que se automorfismos de a $\Omega'$ si y sólo si $c' = e^{\pi i/3}$ o $c' = e^{-\pi i/3}$.
Vemos que, genéricamente, $\operatorname{Aut}(\Omega')$ es un Klein cuatro grupos, pero para algunas situaciones especiales, la automorphism grupo es más grande.
Si $c' \in \left\{ -1, \frac{1}{2}, 2\right\}$, hay uno que no sea trivial automorphism de $\Omega'$ tener $c'$ como un punto fijo [una involución], y $\operatorname{Aut}(\Omega')$ es (isomorfo a) el diedro grupo ($D_4$ o $D_8$, en función de la nomenclatura) de la rigidez de los movimientos de un cuadrado.
Si $c' = e^{\pm \pi i/3}$ (a continuación, los tres puntos de $0,1,c'$ forma de un triángulo equilátero), hay un trivial automorphism del período $3$ $\Omega'$ tener $c'$ como un punto fijo y, a continuación, $\operatorname{Aut}(\Omega')$ es (isomorfo a) la alternancia de grupo $A_4$ incluso de permutaciones de $\{0,1,c',\infty\}$.
