Descomposición de probabilidad condicional de n>=3 elementos en {1,2} elementos

Question

¿Es posible descomponer una probabilidad condicional con tres o más elementos (es decir, número de eventos $n>=3$ , donde $n$ es el número de elementos o eventos) en probabilidades condicionales de sólo dos elementos o en las probabilidades marginales de un elemento? Conociendo esta descomposición, ayudaría a resolver matemáticamente las cadenas de Markov de orden superior. También sé que esta descomposición se puede resolver si añadimos la hipótesis de la independencia condicional.

Para concretar, he aquí un ejemplo negativo:

$Pr(ca,b)=(Pr(a,bc)Pr(c))/(Pr(ab)Pr(b) )$ .

Obsérvese que el lado derecho sigue conteniendo una probabilidad condicional con tres elementos $Pr(a,bc)$ .

Asumiendo la independencia condicional de $c$ tenemos $Pr(a,bc)=Pr(ac)Pr(bc)$ . Así, la descomposición de la probabilidad condicional se convierte en

$Pr(ca,b)(Pr(ac)Pr(bc)Pr(c))/(Pr(ab)Pr(b) )$

Mi pregunta es si este tipo de descomposición de la probabilidad condicional en uno o dos elementos es posible sin hacer suposiciones. Si realmente es un problema irresoluble, entonces al menos sabemos que la suposición de la independencia condicional es una necesidad.

Answer 1

Si no hace ninguna suposición, entonces podría tener esta distribución conjunta (usando indicadores)

A   B   C   Prob
1   1   0   1/3
1   0   1   1/3
0   1   1   1/3

y todas las expresiones de "un elemento" y "dos elementos" tienen probabilidades positivas, como $\Pr(A)=\frac23$ y $\Pr(A,B)=\frac13$ y $\Pr(A\mid B)=\frac12$ , lo que significa que sus productos y cocientes también son positivos,

pero las expresiones de "tres elementos" son $0$ como en $\Pr(A,B,C)=0$ y $\Pr(A,B \mid C)=0$ y $\Pr(A\mid B,C)=0$ ,

demostrando que ninguna de las expresiones de "tres elementos" puede escribirse como productos y cocientes de expresiones de "un elemento" y "dos elementos".