Dimensión de Dirac $\gamma$ matrices

Question

Mientras estudiaba la ecuación de Dirac, me encontré con este enigmático pasaje en la página 551 de De la mecánica clásica a la cuántica por G. Esposito, G. Marmo, G. Sudarshan sobre la $\gamma$ matrices:

$$\tag{16.1.2} (\gamma^0)^2 = I , (\gamma^j)^2 = -I \ (j=1,2,3)$$ $$\tag{16.1.3} \gamma^0\gamma^j + \gamma^j \gamma^0 = 0$$ $$\tag{16.1.4} \gamma^j \gamma^k + \gamma^k \gamma^j = 0, \ j\neq k$$ Al buscar las soluciones de estas ecuaciones en términos de matrices, se encuentra que deben tener como orden un múltiplo de 4, y que existe una solución de orden 4.

Obviamente la palabra pedir aquí significa dimensión. En mis clases de QM el profesor hizo referencia al capítulo 5 de Mecánica Cuántica Avanzada por F. Schwabl, especialmente en lo que respecta a la dimensión de Dirac $\gamma$ matrices. Sin embargo, allí sólo se afirma que, dado que el número de valores propios positivos y negativos de $\alpha$ y $\beta^k$ deben ser iguales, $n$ está en paz. Además, $n=2$ no es suficiente, por lo que $n=4$ es la dimensión más pequeña posible en la que es posible realizar la estructura algebraica deseada.

Aunque tengo que la dimensión más pequeña es 4, no encuentro ningún argumento para rechazar la posibilidad de que $n=6$ podría ser una solución. También he comprobado este El post de Phys.SE, pero no me ha servido de nada.

¿Puede alguien ayudarme?

Answer 1

Generalicemos de cuatro dimensiones espacio-temporales a un $d$ -dimensional Álgebra de Clifford $C$ . Definir

$$p~:=~[\frac{d}{2}], \tag{1}$$

donde $[\cdot]$ denota el parte entera . La pregunta de la OP se convierte entonces en

¿Por qué la dimensión $n$ de una representación de dimensión finita $V$ sea un múltiplo de $2^p$ ?

Prueba:

1. Si $C\subseteq {\rm End}(V)$ y $V$ son ambos reales, podemos complejizar, por lo que a partir de ahora podemos suponer que ambos son complejos. Entonces la firma de $C$ es irrelevante, y por lo tanto también podríamos asumir la firma positiva. En otras palabras, suponemos que nos dan $n\times n$ matrices $\gamma_{1}, \ldots, \gamma_{d}$ que satisfagan $$\{\gamma_{\mu}, \gamma_{\nu}\}_+~=~2\delta_{\mu\nu}{\bf 1}, \qquad \mu,\nu~\in~\{1,\ldots, d\}.\tag{2}$$

2. Podemos definir $$\gamma_{\mu\nu}~:=~ \frac{1}{2}[\gamma_{\mu}, \gamma_{\nu}]_- ~=~-\gamma_{\nu\mu}, \qquad \mu,\nu~\in~\{1,\ldots, d\}. \tag{3}$$ En particular, defina $p$ elementos $$H_1, \ldots, H_p,\tag{4}$$ como $$H_r ~:=~i\gamma_{r,p+r}, \qquad r~\in~\{1,\ldots, p\}.\tag{5}$$

3. Obsérvese que los elementos $H_1,\ldots, H_p$ (y $\gamma_d$ si $d$ es impar), son un conjunto de conmutación mutua involuciones $$[H_r,H_s]_- ~=~0, \qquad r,s~\in~\{1,\ldots, p\},\tag{6}$$ $$H_r^2 ~=~{\bf 1}, \qquad r~\in~\{1,\ldots, p\}.\tag{7}$$

4. Por lo tanto, según Teorema de Lie entonces $H_1,\ldots, H_p$ (y $\gamma_d$ si $d$ es impar), debe tener un vector propio común $v$ .

5. Desde $H_1,\ldots, H_p$ son involuciones, sus valores propios son $\pm 1$ . En otras palabras, $$H_1 v~=~(-1)^{j_1} v, \quad \ldots, \quad H_p v~=~(-1)^{j_p} v,\tag{8}$$ donde $$j_1,\ldots, j_p~\in ~\{0,1\} \tag{9}$$ son cero o uno.

6. Aplique a continuación el $p$ primeras matrices gamma $$\gamma^{1}, \gamma^{2}, \ldots, \gamma^{p}, \tag{10}$$ al vector propio común $v$ para que $$v_{(k_1,\ldots, k_p)}~:=~ \gamma_{1}^{k_1}\gamma_{2}^{k_2}\cdots\gamma_{p}^{k_p} v, \tag{11}$$ donde los índices $$k_1,\ldots, k_p~\in ~\{0,1\} \tag{12}$$ son cero o uno.

7. A continuación, observe que $$[H_r,\gamma_s]_-~=~0 \quad \text{if}\quad r~\neq~ s \mod p \tag{13}$$ y $$\{H_r,\gamma_r\}_+~=~0. \tag{14}$$ Es sencillo comprobar que el $2^p$ vectores $v_{(k_1,\ldots, k_p)}$ también son vectores propios comunes para $H_1,\ldots, H_p$ . En detalle, $$H_r v_{(k_1,\ldots, k_p)}~=~(-1)^{k_r+j_r}v_{(k_1,\ldots, k_p)}.\tag{15}$$

8. Obsérvese que cada vector propio $v_{(k_1,\ldots, k_p)}$ tiene un patrón único de valores propios para la tupla $(H_1,\ldots, H_p)$ Así pues, el $2^p$ vectores $v_{(k_1,\ldots, k_p)}$ deben ser linealmente independientes.

9. Desde $$\gamma_{p+r}~=~ i H_r \gamma_r, \qquad r~\in~\{1,\ldots, p\}, \tag{16}$$ vemos que $$W~:=~{\rm span}_{\mathbb{C}} \left\{ v_{(k_1,\ldots, k_p)} \mid k_1,\ldots, k_p~\in ~\{0,1\} \right\} \tag{17}$$ es un subespacio invariante $W\subseteq V$ para $C$ .

10. Esto demuestra que cualquier representación compleja irreducible de un complejo $d$ -El álgebra de Clifford de una dimensión es $2^p$ -dimensional.

11. Por último, creemos (pero no comprobamos) que una representación de dimensión finita $V$ de un álgebra de Clifford compleja es siempre completamente reducible, es decir, una suma finita de representaciones irreducibles, y por tanto la dimensión $n$ de $V$ debe ser un múltiplo de $2^p$ . $\Box$

Answer 2

Explicación intuitiva

Preliminar: Un vector tiene tantos componentes como elementos de la base del espacio vectorial.

Una base del álgebra de Clifford está generada por todo productos (independientes) de los generadores (en el caso de la ecuación de Dirac son los $\gamma$ 's).

El recuento

Hay tantos $\gamma$ como la dimensión del espaciotiempo, y según la definición el álgebra incluye una unidad, $$\bigl\{\gamma^a,\gamma^b\bigr\} = 2 \eta^{ab}\mathbf{1}.$$

Para cualquier elemento adicional, el nuevo La base consiste en el anterior elementos base más el producto de cada uno de ellos por el elemento extra. Este es el nuevo tiene el doble de elementos. Por lo tanto, $$\dim(\mathcal{C}\ell(n)) = 2^{n}.$$

Para representar esta álgebra se necesitan "matrices" de $2^{n/2}\times 2^{n/2}$ lo que no está mal para los espacios-tiempo de dimensiones pares.

Dicho esto, el problema (que no pretendo demostrar) viene con espacios-tiempo de dimensión impar... sin embargo, intuitivamente de nuevo, esta álgebra puede ser representada por dos copias del álgebra de co-dimensión uno, es decir una dimensión menos. Por ello, la dimensionalidad mínima para la representación del $\gamma$ es $$\dim(\gamma) = 2^{\lfloor n/2\rfloor}\times 2^{\lfloor n/2 \rfloor}.$$

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Si se pregunta si se puede encontrar una mayor representación del $\gamma$ la respuesta es SÍ, pero acabará con un no fundamental o una extensión trivial.

Answer 3

Es una buena pregunta. Para responderla vamos a empezar con el álgebra de Clifford generada por $\gamma$ matrices. $$\begin{equation} \gamma_{\mu}\gamma_{\nu}+ \gamma_{\mu}\gamma_{\nu}=2\eta_{\mu\nu} \end{equation}$$ con $\mu,\nu=0,1,2,\cdots N$ con la firma métrica $\eta_{\mu\nu}=\text{diag}(+,-,-,-,\cdots,-)$ . Utilizando $I$ y $\gamma_{\mu}$ podemos construir un conjunto de matrices como las siguientes $$\begin{equation} I, \gamma_{\mu},\gamma_{\mu}\gamma_{\nu}\quad(\mu<\nu), \gamma_{\mu}\gamma_{\nu}\gamma_{\lambda}\quad(\mu<\nu<\lambda),\cdots,\gamma_{1}\gamma_{2}\cdots\gamma_{N}. \end{equation}$$

Hay $$\begin{equation} \sum_{p=0}^{N}\binom{N}{p} = 2^{N} \end{equation}$$ tales matrices. Llamémoslas $\Gamma_{A}$ , donde $A$ corre de $0$ a $2^{N}-1$ . Ahora dejemos que $\gamma_{\mu}$ son $d\times d$ matrices irreducibles dimensionales. Nuestro objetivo es encontrar una relación entre $d$ y $N$ . Para ello vamos a definir una matriz $$\begin{equation} S = \sum_{A=0}^{2^N-1}(\Gamma_{A})^{-1}Y\Gamma_{A} \end{equation}$$ . Donde $Y$ es algo arbitrario $d\times d$ matriz. Se deduce que $$\begin{equation} (\Gamma_{B})^{-1}S\Gamma_{B} = \sum_{A=0}^{2^N-1}(\Gamma_{A}\Gamma_{B})^{-1}Y\Gamma_{A}\Gamma_{B} =\sum_{C=0}^{2^N-1}(\Gamma_{C})^{-1}Y\Gamma_{C}=S \end{equation}$$ Donde hemos utilizado $\Gamma_{A}\Gamma_{B}=\epsilon_{AB}\Gamma_{C}$ con $\epsilon_{AB}^{2}=1$

Por lo tanto, $$\begin{equation}S\Gamma_{A}=\Gamma_{A}S\end{equation}$$ Desde $S$ conmuta con todas las matrices del conjunto, por el lema de Schur concluimos que $S$ debe ser proporcional a la matriz identidad para que podamos escribir $$\begin{equation} S = \sum_{A=0}^{2^N-1}(\Gamma_{A})^{-1}Y\Gamma_{A} = \lambda I \end{equation}$$

Tomando la traza obtenemos $$\begin{eqnarray} \text{Tr} S & = & \sum_{A=0}^{2^N-1} \text{Tr} Y = \lambda d\\ \Rightarrow \lambda & = & \frac{2^{N}}{d}\text{Tr} Y \end{eqnarray}$$ o $$\begin{equation} \sum_{A=0}^{2^N-1}(\Gamma_{A})^{-1}Y\Gamma_{A} = \frac{2^{N}}{d}\text{Tr} Y \end{equation}$$

Tomando la $(j; m)$ El elemento de la matriz de ambos lados de la última ecuación da como resultado $$\begin{equation} \sum_{A=0}^{2^N-1}((\Gamma_{A})^{-1})_{jk}(\Gamma_{A})_{km} = \frac{2^{N}}{d}\delta_{jm} \delta_{kl} \end{equation}$$ donde $j; k; l; m = 1; 2;\cdots; d$ y hemos utilizado el hecho de que Y es un arbitrario $d \times d$ matriz. Si establecemos $j = k; l = m$ y sumar sobre estos dos índices, lo que da $$\begin{equation} \sum_{A=0}^{2^N-1} \text{Tr}[(\Gamma_{A})^{-1}] \text{Tr}[\Gamma_{A}] = 2^{N}\end{equation}$$ Hay dos casos a considerar, a saber, $N$ incluso y $N$ impar. Para $N = 2M$ (incluso), $\text{Tr} \Gamma_{A} = 0$ excepto en el caso de $\Gamma_{0} = 1$ para lo cual $\text{Tr} \Gamma_{0} = d$ . Lo que da $$\begin{equation} d^2 = 2^N\qquad \text{or} \quad \boxed{d = 2^{N/2}} \end{equation}$$ Este es el resultado principal. Para un espacio de Minkowski de cuatro dimensiones el tiempo $N=4$ cosequntly la dimensión de la representación irreducible es $d = 2^{4/2} =4$ .

Answer 4

Una prueba rigurosa de la dimensionalidad de $\gamma$ Las matrices provienen de la teoría de la representación de grupos. Se trata de encontrar la representación irreducible del álgebra de Clifford. Un libro reciente de Ashok Das de la teoría de grupos discutió eso en una gran profundidad. Un capítulo etair de este libro dedicado a encontrar la representación del álgebra de Clifford tanto en dirección par como impar. Ver la página nº 162 para el prrof.

Una bonita y simpática prueba fue dada por peter West en

http://arxiv.org/abs/hep-th/9811101 .

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