Si quieres encontrar otro $\sigma'_{V,W}\colon V\otimes W\to W\otimes V$ para que $\sigma'_{U,V\otimes W}=\sigma'_{U,V}\sigma'_{U,W}$ y asumir que en los elementos homogéneos $\sigma'_{V,W}(v\otimes w)=f(\deg(v),\deg(w))w\otimes v$ para algunos elementos $f(\cdot,\cdot)\colon\mathbb{N}\times\mathbb{N}\to F$ entonces es fácil deducir que $f(a,b)=f(1,1)^{ab}$ . Esto, junto con el requisito de que $\sigma'_{V,W}\sigma'_{W,V}=Id_{V\otimes W}$ , muestra instantáneamente que $f(1,1)=\pm1$ . Pero, por supuesto, hubo muchas suposiciones en el camino.
En cuanto al origen, creo que además de lo que dice Mark Grant, cuando se tiene el producto sobre la cohomología $H^*(M)$ (sobre un campo), entonces se puede aplicar la fórmula de Künneth y decir $H^*(M\times N)=H^*(M)\otimes H^*(N)$ . ¿En qué sentido estas dos son isomorfas como álgebras? Para definir un producto aa sobre el producto tensorial $H^*(M)\otimes H^*(N)$ , necesitas esos isomorfismos $\sigma$ para que puedas hacer $H^*(M)\otimes H^*(N)\otimes H^*(M)\otimes H^*(N)\to H^*(M)\otimes H^*(M)\otimes H^*(N)\otimes H^*(N)$ y luego calcular el producto en $H^*(M)$ y en $H^*(N)$ . La convención de Koszul es precisamente la opción para la que se obtiene un isomorfismo de álgebra.
