Es equivalente a escribir:
$$\vec v=v_x\cdot \hat x+v_y\cdot \hat y+v_z\cdot \hat z$$
y
$$\vec v=v\cdot \hat v+0\cdot \hat w+0\cdot \hat \omega$$
(Esto último se simplifica a $\vec v=v\cdot \hat v$ . Y $v$ resulta ser igual a $||\vec v||$ .)
Ambos describen el mismo vector pero en sistemas de coordenadas diferentes.
- Uno es el habitual y conocido ( Cartesiano ) ( $\hat x$ , $\hat y$ , $\hat z$ )-sistema de coordenadas y
- el otro es un nuevo ( $\hat v$ , $\hat w$ , $\hat \omega$ )-sistema de coordenadas, que hemos inventado justo para esta situación. Se ha inventado para tener su primer eje a lo largo del vector, por lo que las coordenadas 2ª y 3ª son cero.
Puedes inventar ese nuevo sistema de coordenadas sobre la marcha en cualquier momento. Contiene tres vectores base - suficiente para describir completamente todo el mundo físico en 3D, por lo que es perfectamente legal y válido. Puedes pensar en el nuevo sistema de coordenadas como una versión "inclinada" del habitual; inclinada para ajustarse al vector. Independientemente del sistema de coordenadas, el vector es el mismo: miramos el mismo objeto pero cambiamos la "perspectiva", por así decirlo.
Esto simplifica la matemática (reduce el número de términos de coordenadas) y por lo tanto es inteligente. El cambio de coordenadas es todo un disciplina en matemáticas y muy útil en física.
Pasando a su ejemplo concreto
Escribe la 2ª ley de Newton así:
$$||\vec F||\cdot \hat r=m\vec a$$
pero, ¿por qué detenerse ahí? Por qué no continuar con la notación vectorial unitaria así:
$$||\vec F||\cdot \hat r=m||\vec a||\cdot \hat r$$
Al fin y al cabo, tanto la fuerza como la aceleración apuntan en la misma dirección. Ambas pueden escribirse a partir del mismo vector unitario, que has decidido llamar $\hat r$ . Podríamos ampliarlo para mostrar la combinación lineal completa:
$$||\vec F||\cdot \hat r+0\cdot\hat p+0\cdot\hat q=m(||\vec a||\cdot \hat r+0\cdot\hat p+0\cdot\hat q)$$
donde el ( $\hat r$ , $\hat p$ , $\hat q$ ) son las que hemos inventado para esta situación específica para que el primer eje se alinee con el vector.
Tanto el $\vec F$ y el $\vec a$ Los vectores podrían haberse escrito también en las coordenadas cartesianas habituales:
$$F_x\cdot \hat x+F_y\cdot\hat y+F_z\cdot\hat z=m(a_x\cdot \hat x+a_y\cdot\hat y+a_z\cdot\hat z)$$
Pero ahora menos términos serán cero. Esto es más complicado, pero igual de correcto.
Ahora, ¿qué debo hacer para conseguir $\hat{r}$ ¿Igual a una combinación lineal para que use el producto punto en ambos lados para obtener mis ecuaciones escalares?
Parece que en esta última frase tuya quieres que el $\hat r$ que se escriba como una combinación lineal de $\hat x$ , $\hat y$ y $\hat z$ ? Si es así, entonces se puede dividir esencialmente con el $||\vec F||$ en ambos lados, y luego $\hat r$ está aislado:
$$\begin{align} ||\vec F||\hat r&=m(a_x\cdot \hat x+a_y\cdot\hat y+a_z\cdot\hat z)\quad\Leftrightarrow\\ ~&~\\ \hat r&=\frac m{||\vec F||}(a_x\cdot \hat x+a_y\cdot\hat y+a_z\cdot\hat z)\\ &=\frac{ma_x}{||\vec F||}\cdot \hat x+\frac{ma_y}{||\vec F||}\cdot\hat y+\frac{ma_z}{||\vec F||}\cdot\hat z \end{align}$$
Voilà. ¿Era esto lo que querías decir o he entendido mal la pregunta?
