Cómo atar por encima $| \frac{n}{\sqrt{n^2+n} +n}-\frac{1}{2} |$

Question

Buscar y justificar $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} S_n$ $$S_n = \sqrt{n^2+n} - n = $$

$$\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt{n^2+n} - n = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{n}{\sqrt{n^2+n} +n} = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt{1+1/n} + 1} = 1/2$$

$S_n$ converge a $\frac{1}{2}$ si para cada $\epsilon>0 $ hay un número entero $N$ s. t. $$|S_n-\frac{1}{2}| <\epsilon,n\geq N$$

Considerando $$|S_n-\frac{1}{2}| = \left| \frac{n}{\sqrt{n^2+n} +n}-\frac{1}{2} \right|= \left|\frac{n-\sqrt{n^2+n}}{2\sqrt{n^2+n}+2n} \right| \leq \left|\frac{n-\sqrt{n^2+n}}{2n+2n} \right| $$ $$ \leq \left|\frac{n-\sqrt{n^2+n}}{4n} \right| \leq \left|\frac{1 -\sqrt{1+1/n}}{4}\right| \leq \frac{\sqrt{1/n}}{4} \leq \epsilon$$

dejar $N$ sea tal que $$ \frac{\sqrt{1/N}}{4} \leq \epsilon => \frac{1}{16 \epsilon^2}<N$$

Se deduce que para cualquier $\epsilon>0$ , si $n \geq N > \frac{1}{16 \epsilon^2}$ entonces $$|S_n-\frac{1}{2}| <\epsilon$$

Estoy un poco inseguro de si es la forma correcta de proceder sobre todo con el límite de $N$ en relación con $\epsilon$ . ¿Es mi método para atar $N$ ¿correcto?

Le agradecemos mucho su aportación.

Answer 1

Su método de prueba para mí es correcto.

Ahora el límite de $N$ que necesitas es $$N=[\frac{1}{16 \epsilon^2}]+1$$

Este $N$ es el menor número natural con la propiedad

$$ \frac{\sqrt{1/n}}{4} < \epsilon, \forall n\geqslant N $$

En cuanto a la respuesta al comentario de abajo, has demostrado que $N> \frac{1}{16\epsilon^2}$ .

Utilizamos la doble desigualdad $[x]\leqslant x \leqslant [x]+1$ donde $[x]$ es la parte entera de $x$ .

Así, tenemos $[\frac{1}{16\epsilon^2}] \leqslant \frac{1}{16\epsilon^2} \leqslant [\frac{1}{16\epsilon^2}]+1$

Ahora ves que el menor número natural positivo mayor que $\frac{1}{16\epsilon^2}$ es $N=[\frac{1}{16\epsilon^2}]+1$

Así, siempre que $n \geqslant N$ tenemos esa desigualdad deseada para el límite.