Duda en el Problema 6 del Ex 8.2 de Álgebra Lineal de Hoffman y Kunze

Question

Este es el problema del ejemplo 8.2 de Hoffman y Kunze

Parte $a$ , $b$ y $c$ eran triviales de resolver pero no soy capaz de resolver $d$ parte. La fórmula de la parte $a$ resultó ser $$E(x_1,x_2) = \frac{(3x_1 + 4x_2)}{25} (3,4)$$ Ahora, cuando trato de resolver $d$ parte, pensé en asumir simplemente un vector base para ser $(x_1,x_2)$ y que equivale a $(1,0)$ pero resulta ser irresoluble. ¿Qué estoy haciendo mal? ¿Puede alguien ayudarme, por favor? Estoy leyendo el libro por mi cuenta.

Answer 1

Para la parte d vamos a pensar en lo que significa exactamente. Queremos una base ortonormal $\{v,w\}$ tal que $E$ es $\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}$ . Esto es lo mismo que decir que $E(v)=v$ y $E(w) = 0$ . Bueno, por definición de una proyección, cualquier cosa en la imagen de $E$ satisface $E(v)=v$ . Queremos una base ortonormal, así que tomemos esta como longitud unitaria. Por ejemplo, podemos tomar $v=(3/5,4/5)$ .

Ahora necesitamos algunos $w$ con $E(w)=0$ y $v\perp w$ . Eso implicará automáticamente que $v$ y $w$ son linealmente independientes, dándonos la base deseada. Ahora, $E$ es un ortogonal proyección, por lo que su núcleo es el complemento ortogonal de su imagen. Por lo tanto, sólo tenemos que encontrar algún vector de longitud unitaria perpendicular a $(3/5,4/5)$ . Podemos tomar $w=(-4/5,3/5)$ .