Me gustaría encontrar la inversa de $X$

Question

Dejemos que $X(u,v)=(vu,u^2v^2,u+v)$ , $(u,v)\in U=\mathbb R^2$ y $S=X(U)$ .

cuál es la inversa de $X$

donde $X$ es la función que asigna a $2$ D en un objeto $3$ Objeto D

$X^{-1}(x,y,z)$

Answer 1

Dejemos que $X^{-1}(x,y,z)=(f,g)$ . Entonces, $$\tag1x=g-f$$ $$\tag2y=f^2-g^2$$ $$\tag3z=f+g$$ Añadiendo $(1)$ y $(3)$ , $$g=\frac{x+z}2$$ Y $$f=\frac{z-x}2$$

$$X^{-1}(x,y,z)=\left(\frac{z-x}2,\frac{x+z}2\right)$$ Tenga en cuenta que $(x,y,z)\in S$ es decir, los valores de $x,y,z$ no son independientes.

Answer 2

Una pista: para encontrar la inversa significa que para un punto dado $A(a_1,a_2,a_3)\in X(U)\subset \mathbb R^3$ hay que determinar lo que podría ser $(u,v)\in\mathbb R^2$ para que $X(u,v)=(a_1,a_2,a_3)$ es decir, resolver el sistema no lineal

$$\begin{array}{|l} &v-u=a_1\\ &u^2-v^2=a_2\\ &u+v=a_3 \end{array}$$

Tenga en cuenta que, no todos los puntos de $\mathbb R^3$ son a imagen y semejanza de $X$ . Por ejemplo, una condición necesaria para $A\in X(U)$ es que $a_1a_3=-a_2$ . Esto se consigue multiplicando la primera y la tercera ecuación y comparando con la segunda.