¿Es cierto que $y^7=y$ en un anillo conmutativo con $r^8=r$ ?

Question

Dejemos que $R$ sea un anillo conmutativo con identidad tal que $\forall r \in R[r^8=r]$ . Sea $y \in R$ . ¿Es cierto que $y^7=y$ ?

Es evidente que es cierto si $R$ es el anillo trivial (es decir $0=1$ ) por lo que supongamos $R$ no es el anillo trivial.

Veo que, en la aritmética de $R$ , $(1+1)^8=1+1$ Así que $254=0$ . Veo también que $(y+y)^8=256y^8=2y^8$ Pero no veo cómo esto ayuda.

Bonificación: Si es cierto que $y^7=y$ ¿todavía sería esto cierto? incluso si $R$ es un anillo conmutativo ¿sin identidad?

Answer 1

El campo $\mathbb{F}_8$ es un contraejemplo. $\mathbb{F}_8$ es el campo de división de $T^8-T$ en $\mathbb{F}_2$ .

Answer 2

Si $y^7 = y$ entonces debe tener $y = y^8 = y \cdot y^7 = y^2$ . Por el contrario, si $y = y^2$ entonces $y = y^n$ para todos $n \ge 1$ .