¿Existe un grupo $G$ tal que
En caso afirmativo, ¿es el único?
No. Para demostrar que no existe basta con producir dos grupos $G,H$ que contienen copias isomorfas de todos los grupos finitos, pero de tal manera que ningún grupo que contenga copias isomorfas de todos los grupos finitos se incrusta en ambos $G$ y $H$ .
Dejemos que $(G_n)$ sea una enumeración de todos los grupos finitos. Sea $G=\bigoplus G_n$ sea la suma directa restringida y $H={\Large\ast}_nG_n$ el producto gratuito.
Si $K$ es un subgrupo de $G$ entonces $K$ es localmente finito, y por tanto libremente indecomponible. Por lo tanto, si $K$ también es isomorfo a un subgrupo de $H$ , entonces por el teorema de los subgrupos de Kurosh, $K$ es finito. En particular, $K$ no contiene copias isomorfas de todos los grupos finitos.
"Para demostrar que no existe basta con producir dos grupos , que contienen copias isomorfas de todos los grupos finitos, pero que no se incrustan el uno en el otro." ¿No es necesario demostrar que no existe un tercer grupo que contenga todos los subgrupos finitos que se incruste en ambos $G$ y $H$ ?
La respuesta es sí si:
Este grupo se conoce como el límite de Fraïssé de la categoría de grupos finitos.
Ver: https://en.wikipedia.org/wiki/Fra%C3%AFss%C3%A9_limit
y https://math.stackexchange.com/questions/88169/fra%C3%AFss%C3%A9-limits-and-groups
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Observación 1. Cuestión relacionada mathoverflow.net/questions/28945/ 2. Es obvio que si tal $G$ es necesariamente Cohopfiano, entonces es único.
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Esto no respondería a la pregunta tal y como está planteada, pero: dejemos que $G_1 \cong \bigsqcup_n S_n$ sea el coproducto de los grupos simétricos, y sea $G_2 \cong \bigoplus_n S_n$ sea la suma directa (es decir, el subgrupo del producto directo con soporte finito). Ambos cumplen la primera condición. ¿Alguien ve una incrustación de cualquiera de estos grupos entre sí?
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Grupo Universal de Hall es un grupo contable localmente finito que contiene todos los grupos contables localmente finitos (en particular todos los grupos finitos) como subgrupos (por lo que en 2. las flechas están al revés - para $H$ contable).
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La pregunta tiene una respuesta negativa (escribí una respuesta) pero es natural pensar en el caso localmente finito. Creo que puedo demostrar que el grupo $A=\bigoplus_{n\ge 5}\mathrm{Alt}_n$ tiene la propiedad de que todo subgrupo $H$ de $A$ que contiene copias isomorfas de todos los grupos finitos, contiene en realidad una copia isomorfa de $A$ . Por lo tanto, si existe un grupo $G$ que satisface la propiedad requerida restringida a grupos localmente finitos, entonces $A$ cumple esta propiedad. Pero no sé si es el caso, es decir, si $A$ se incrusta en todo grupo localmente finito que contenga a todos los grupos finitos.
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Como continuación a esta pregunta Hice la pregunta sugerida en mi comentario anterior por separado .